7.3. Симплекс-таблица.

Все математические методы линейного программирования основаны на нахождении неотрицательных базисных решений. Итак, перед нами стоит задача определения неотрицательного базисного решения. Пусть в системе линейных уравнений свободные члены всех уравнений - числа неотрицательные (в противном случае умножением обеих частей уравнения на -1 можно сделать свободный член положительным). Будем решать систему методом полного исключения переменных.

Исходная таблица:

x₁ x₂ ... x_j ... x_n

a₁₁ a₁₂ ... a_1j ... a_1n b₁

......................

a_i1 a_i2 ... a_ij ... a_in b_i

......................

a_m1 a_m2 ... a_mj ... a_mn b_m

Решение начинается с выбора разрешающего элемента. Сделаем это следующим образом:

1) за разрешающий столбец примем такой столбец, в котором имеется хотя бы один положительный элемент (Если все коэффициенты при переменных отрицательные, а свободные члены неотрицательные, то неотрицательное решение единственно: это (0,...,0));

2) пусть в разрешающем столбце несколько положительных элементов. Найдем отношения соответствующих свободных членов к этим элементам и за разрешающий элемент возьмем тот из них, для которого это отношение наименьшее (если в столбце один положительный элемент, то он и будет разрешающим). Затем осуществим пересчет элементов таблицы. Такое преобразование носит название симплексного.

Добавим, что если найдено хотя бы одно неотрицательное базисное решение, то с помощью симплексного преобразования можно перейти к другому неотрицательному базисному решению (если такое есть).

Правило прямоугольника. Правило для нахождения элемента преобразованной таблицы, не принадлежащего разрешающим столбцу или строке, называют правилом прямоугольника.

Алгоритм преобразования:

1) элементы разрешающей строки получаются из соответствующих элементов прежней строки делением на разрешающий элемент;

2) все элементы разрешающего столбца преобразованной таблицы, кроме разрешающего элемента, равны нулю;

3. все остальные элементы пересчитываются по правилу прямоугольника: выделяем прямоугольник в таблице 7.2 так, что элемент подлежащий пересчету (5), и разрешающий элемент (2) образуют одну из диагоналей. А затем из произведения этих элементов вычитаем произведение элементов, образующих другую диагональ, и полученную разность делим на разрешающий элемент.

Пример. С помощью Симплекс-таблицы найти минимальное значение

целевой функции (7.15):

F(x₁,x₂)= -f(x₁,x₂)= -10·x₁- 12·x₂- 0·x₃ - 0·x₄ - 0·x₅  min

при данных ограничениях (7.14)

4·x₁ + 5·x₂ + x₃ = 300

2·x₁+ x₂ + x₄= 100

2·x₁+ 3·x₂+ x₅= 160

x_1,2,3,4,5 0

Решение. Коэффициенты при переменных переписываем в симплексные таблицы (Табл. 7.2). В данной задаче исходным базисным решением является: (0;0;300;100;160). Целевую функцию запишем в следующем виде:

F+10·x₁+12·x₂+0·x₃+0·x₄+0·x₅  min.

Таблица 7.2

Базисные х₁ х₂ х₃ х₄ х₅ Свободные

переменные члены

х₃ 4 5 1 0 0 300

х₄ 2 1 0 1 0 100

х₅ 2 3 0 0 1 160

F 10 12 0 0 0 0

Разрешающий элемент таблицы есть а₁₂=2. Для нахождения разрешающего элемента в столбце с положительным значением коэффициента целевой функций с₁=10 выбираются положительные элементы a₁₁=4, a₁₂=2, а₁₃=2; составляются отношения b₁/a₁₁=300/4, b₂/a₁₂=100/2 и b₃/a₁₃=160/2; из полученных отношений выбирается наименьшее.

Переменная х₁ должна заменить в исходном базисе переменную х₄. После соответствующих преобразований таблица будет иметь следующий вид:

Таблица 7.3

Базисные х₁ х₂ х₃ х₄ х₅ Свободные

переменные члены

х₃ 0 3 1 0 0 100

х₁ 1 0,5 0 0,5 0 50

х₅ 0 2 0 -1 1 60

F 0 7 0 -5 0 -500

В строке коэффициентов целевой функций F таблицы 7.3 элемент c₂=7 положительный. Разрешающий элемент таблицы есть а₂₃=2. Для нахождения разрешающего элемента в столбце выбираются положительные элементы a₂₁=3, a₂₂=0,5, а₂₃=2; составляются отношения b₁/a₂₁=100/3, b₂/a₂₂=50/0,5 и b₃/a₂₃=60/2; из полученных отношений выбирается наименьшее. Переменная х₂ должна заменить в исходном базисе переменную х₅. После соответствующих преобразований таблица будет иметь следующий вид:

Таблица 7.4

Базисные х₁ х₂ х₃ х₄ х₅ Свободные

переменные члены

х₃ 0 0 1 1,5 -1,5 10

х₁ 1 0 0 0,75 -0,25 35

х₂ 0 1 0 -0,5 0,5 30

F 0 0 0 -1,5 -3,5 -710

В строке коэффициентов целевой функции нет положительных элементов. Таблица 7.4 является последней в решении поставленной задачи. Из этой таблицы видно, что при базисном решении (35;30;10;0;0) целевая функция F имеет значение F=-710. Значение F=-710 является наименьшим в данной задаче при x₁=35, x₂=30.