6. Решение задачи Коши для обыкновенных

дифференциальных уравнений.

В зависимости от числа независимых переменных дифференциальные уравнения делятся на две категории:

- обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную

- уравнения с частными производными, содержащие несколько независимых переменных.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции y=y(x):

F(x,y,y,...,y⁽ⁿ⁾)=0 , (6.1)

где х - независимая переменная, n - порядок дифференциального уравнения.

Уравнения первого и второго порядков записываются в виде:

F(x,y,y)=0, F(x,y,y,y)=0.

Записи: y=f(x,y), y=f(x,y,y) (6.2)

называются уравнениями, разрешенными относительно старшей производной.

Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производных. Например,

y- x² y = sin(x) - линейное уравнение первого порядка.

Решением дифференциального уравнения (6.1) называется всякая функция y=(x), которая после ее подстановки в уравнение превращает ее в тождество.

Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных c₁,c₂,...,c_n

y=( c₁,c₂,...,c_n) (6.3)

Частное решение дифференциального уравнения получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения.

Для уравнения первого порядка общее решение зависит от одной произвольной постоянной:

y=(x,c). (6.4)

Если постоянная принимает определенное значение с=с₀, то получим частное решение: y=(x,c₀).

Дадим геометрическую интерпретацию дифференциального уравнения первого порядка (6.2).

Поскольку производная y характеризует наклон касательной  интегральной кривой в данной точке, то при y==const из (6.2) получим f(x,y)= - уравнение линии постоянного наклона, называемой изоклиной. Меняя , получаем семейство изоклин.

Приведем геометрическую интерпретацию общего решения (6.4). Это решение описывает бесконечное множество интегральных кривых с параметром c, а частному решению соответствует одна кривая из этого семейства. Через каждую точку из области решения проходит одна интегральная кривая.

Для выделения некоторого частного решения уравнения первого порядка достаточно задать координаты (x₀,y₀) произвольной точки на данной интегральной кривой.

Для уравнений высших порядков для выделения частного решения из общего нужно задавать столько дополнительных условий, сколько произвольных постоянных в общем решении, т.е. каков порядок уравнения.

Если эти условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями х = x₀, в которой они задаются, - начальной точкой.

Если же дополнительные условия задаются при различных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются граничными условиями.

Наиболее распространенным и универсальным численным методом решения дифференциальных уравнений является метод конечных разностей. Его сущность состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргумента, заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами, и задача считается решенной, если найдены неизвестные значения функции в этих точках. Численные методы решения дифференциальных уравнений методом конечных разностей проводятся в два этапа:

1. Аппроксимация дифференциального уравнения системой линейных и нелинейных разностных уравнений

2. Решение полученной системы разностных уравнений.

Разностные методы позволяют находить только конкретное (частное) решение, однако необходимо подчеркнуть, что эти методы в настоящее время являются основными при решении дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ.

Одним из простейших разностных методов решения обыкновенного дифференциального уравнения является одношаговый метод Эйлера.

Пусть требуется решить задачу Коши для уравнения первого порядка:

y=f(x ,y), y(x₀)= y₀ (6.5)

на отрезке а,b.

На данном отрезке выбираем некоторую совокупность узловых точек a=x₀< x₁<x₂< ...<x _n=b и разложим искомую функцию y(x) в ряд Тейлора в их окрестностях.