34

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной математики

Методические указания

по курсу "Информатика"

для самостоятельной работы студентов

всех специальностей

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Часть 2

Казань

2008

Составители: Ф.Г.Ахмадиев, Ф.Г.Габбасов, И.Н.Гатауллин,

Р.Ф.Гиззятов, Р.И.Ибятов, Х.Г.Киямов.

УДК 621.313: 518.6

Методические указания по курсу "Информатика" для самостоятельной работы студентов всех специальностей. Численные методы. Часть 2. /Казанский государственный архитектурно-строительный университет. Сост.: Ф.Г.Ахмадиев, Ф.Г.Габбасов, И.Н.Гатауллин, Р.Ф.Гиззятов, Р.И.Ибятов, Х.Г.Киямов. -Казань, 2008. -35с.

Методические указания состоят из двух частей и предназначены для самостоятельной работы студентов всех специальностей 2-го курса дневного и заочного отделений. В данной работе приводятся численные методы решения нелинейных уравнений, систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений, определенных интегралов, методы аппроксимации дискретных функций и методы решения задач линейного программирования.

Табл. 6, библиогр. назв. 6.

Рецензент - Р.Б.Салимов, доктор физ.-мат. наук, профессор

Казанский государственный

 архитектурно-строительный

университет, 2008г.

5. Численное интегрирование.

Требуется вычислить определенный интеграл:

I= (5.1)

Выберем на отрезке интегрирования а,b n различных узлов

a=x₀x₁x₂...x_n-1 x_n = b

и интерполируем функцию f(x) по ее значениям в этих узлах некоторым полиномом P_m(x).

Тогда определенный интеграл (5.1) приближенно можно вычислять по формуле

I = P_m(x)dx _, (5.2)

которая называется квадратурной формулой интерполяционного типа.

5.1. Метод прямоугольников.

На каждом отрезке x_i, x_i+1, i=0,1,2,...,n-1 функция f(x) заменяется полиномом нулевой степени P₀(x)=f(x_i).

Поэтому приближенно I вычисляется по формуле (см. рис. 5.1):

I = f(x _i) (x_i+1- x _i). (5.3)

Величина ошибкиI-I определяется ошибкой интерполирования f(x)-P_m(x) на отрезке а,b и может быть представлена в форме

R(f)= (x-x₁)(x-x₂)...(x-x_n)f⁽ⁿ⁾()dx_, (5.4)

Нахождение точного значения R(f) затрудняет то обстоятельство, что не известна зависимость  от x. Однако, если известна производная порядка n, то ее всегда можно оценить

 f⁽ⁿ⁾(x) M_n , x  а,b.

(b-a)²

I-I  M₁, (5.5)

2n

г де M₁=maxf(x)- наибольшее значение модуля первой производной f(x) на отрезке a, b.

y

y=f(x)

f(x₀) f(x₁)

0 x₀=a x₁ x₂ ... x_n-1 x_n=b x

Рис. 5.1. Метод прямоугольников.

Для равноотстоящих узлов формула (5.5) имеет следующий вид:

I = h f(x_i), h = x_i+1- x _i (5.6)

или I = h f(x_i). (5.7)

Формулу (5.6) называют формулой левых прямоугольников, а (5.7) правых прямоугольников.

Программа вычисления интеграла методом прямоугольников представлена на рис. 5.2.

REM LR-5-1, m=13, n=5

DEF FNF(X)=2*X^2+.1

DATA 0,1,8

READ A,B,N

H=(B-A)/N

S=0: X=A

1 S=S +FNF(X)*H

X=X+H