Перпендикуляр и наклонная

Рассмотрим плоскость  и точку А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости , и обозначим буквой Н точку пересечения этой прямой с плоскостью  (см. рис.). Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости , а  точка Н  основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости  какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведем отрезок АМ. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости , а точка М  основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость .

Сравним перпендикуляр АН и наклонную АМ: в прямоугольном треугольнике АМН сторона АН  катет, а сто­рона АМ  гипотенуза, поэтому АН < АМ. Итак, перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости.

Следовательно, из всех расстояний от точки А до различных точек плоскости  наименьшим является расстояние до точки Н. Это расстояние, т. е. длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости , называется расстоянием от точки А до плоскости .

Зачем нужно понятие перпендикулярности в пространстве? С помощью перпендикулярности можно определять и вычислять различные расстояния в пространстве.

Когда мы говорим, что некоторый предмет, например лампочка уличного фонаря, находится на такой-то высоте, скажем, 6 м от земли, то имеем в виду, что расстояние от лампочки до поверхности земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от лампочки к плоскости земли (см. рис.).

Вопросы и задачи

1. Какую фигуру образуют перпендикуляр, наклонная и проекция наклонной?

2. Какая теорема связывает эти три отрезка?

3. Сколько перпендикуляров можно провести из данной точки к плоскости? Почему?

4. Сколько наклонных можно провести из данной точки к плоскости? Почему?

5. Зачем нужно понятие перпендикулярности в пространстве?

6. Из точки, расположенной вне плоскости, проведены две наклонные, равные 15 см и 20 см. Проекция одной из них равна 16 см. Вычислите длину проекции другой наклонной.

7. 1). Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости , пересекающие ее в точках С и D соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 3 м, ВD = 2 м, СD = 2,4 м и отрезок АВ не пересекает плоскость  a. 2). Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока  не провисает. 3). Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удалены на расстояние 3,4 м, соединены перекладиной. Высота одного столба 5,8 м, а другого – 3,9 м. Найдите длину перекладины.

Теорема о трех перпендикулярах

Теорема о трех перпендикулярах.

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.

И обратно. Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Вопросы и задачи

1. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах. Запишите формулировку теоремы с помощью математических значков.

2. Назовите три перпендикуляра о которых идет речь в теореме.

3. 1). Через вершину А прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая АD, перпендикулярная к плоскости треугольника. Докажите, что треугольник СВD прямоугольный. Укажите прямой  угол. 2). Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника АВСD. Докажите, что треугольники АМD и МСD прямоугольные.

4. Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, М – середина стороны ВС. Докажите, что МК  ВС.