Параллельность прямой и плоскости

1. 1 ). Точки А и В лежат в плоскости a, а точка С не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АС и ВС, параллельна плоскости  a. 2). Некоторая плоскость a пересекает боковые стороны АВ и СD трапеции АВСD в точках М и К соответственно. Докажите, что АD ǁ a, если М и К – середины боковых сторон трапеции.

2. 1). Точка М не лежит в плоскости трапеции АВСD с основанием АD. Докажите, что прямая АD параллельна плоскости ВМС. 2). Точка М не лежит в плоскости параллелограмма АВСD. Докажите, что прямая СD параллельна плоскости АВМ.

Параллельность плоскостей

1. У кажите модели параллельных плоскостей на предметах классной обстановки.

2. Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС, точка М, Р, и K – середины отрезков DА, DВ и DС соответственно. Докажите, что плоскости МРK и АВС параллельны.

3. Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из плоскостей проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А₁ и В₁. Чему равен отрезок А₁В₁, если АВ = 8,8 см ? Ответ  объясните.

Перпендикулярность в пространстве

Перпендикулярные прямые в пространстве

Определение. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Обозначают: а  b.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости.

Обозначают: а  

Теорема². Через любую точку пространства можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости:

Если прямая, перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

 Запишите формулировку признака с помощью математических значков.

Теорема о двух перпендикулярах:

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Вопросы и задачи

1. Как располагаются относительно друг друга перпендикулярные прямые?

2. Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости?

3. Как узнать, является ли прямая перпендикулярной к плоскости?

4. Точки А, М, О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости , а точки О, В, С, D лежат в плоскости . Какие из следующих углов являются прямыми: Ð АОВ,  МОС, Ð DАМ, Ð DОА, Ð ВМО?

5. 1). Через катеты ВD и ВС прямоугольных треугольников АВD и АВС проведена плоскость , не содержащая их общий катет. Будет ли  АВ  . 2). Через стороны АD и АР прямоугольников АВСD и АРКВ проведена плоскость , не содержащая их общую сторону. Будет ли АВ .

6. 1). ВЕ – биссектриса  АВС. Прямая ВD перпендикулярна плоскости треугольника. Найдите угол между прямыми ВЕ и ВD. 2). Прямая ЕА перпендикулярна плоскости прямоугольника АВСD. Докажите, что ЕА  АС. 3). Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Определите вид треугольника МВD, где D – произвольная точка прямой АС.