5.5.1. Нормированное нормальное распределение

Пусть случайная величина Х имеет нормальный закон распределения, параметры которого , . Функция плотности вероятности ее будет иметь вид

.

Такое распределение случайной величины Х называется нормированным (стандартным) нормальным распределением. График функции называется нормированной нормальной кривой и представлен на рис. 20.

Рис. 20

Функция обладает теми же свойствами, что и функция нормального распределения .

Примером нормированной нормально распределенной случайной величины может служить величина , где Х - нормально распределенная случайная величина с параметрами .

В самом деле, найдем числовые характеристики случайной величины Z.

.

.

.

Итак, , , следовательно, случайная величина Z - нормированная нормально распределенная.

Так как функция имеет большое практическое применение, то она табулирована (это было отмечено ранее, см. прил. 1).

5.5.2. Функция Лапласа

Дана случайная величина Х, имеющая нормальное распределение с параметрами и . Ее дифференциальная функция (плотность распределения вероятности) известна, . Чтобы найти интегральную функцию распределения , необходимо вычислить

.

Или требуется вычислить вероятность

.

Однако указанные интегралы в конечном виде через элементарные функции не выражаются. Для решения таких задач применяется специальная функция , которая называется функцией Лапласа, или интегралом вероятностей. Функция Лапласа табулирована, таблица ее значений приведена в прил. 2. При пользовании данной таблицей необходимо знать свойства функции Лапласа.

Свойство 1. Функция Лапласа - монотонно возрастающая функция.

Доказательство. .

Найдем производную функции . Для этого применим правило дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом.

Тогда при любом t, откуда - функция возрастающая.

Свойство 2. Функция Лапласа при t=0 равна нулю.

Доказательство. , так как интеграл с равными пределами интегрирования равен нулю.

Свойство 3. Функция Лапласа нечетная, то есть .

Доказательство. . Выполним замену переменной , , а пределы интегрирования будут 0 и t. Тогда , так как величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования.

Примечание. Исходя из доказанного свойства, в прил. 2 приводятся значения функции Лапласа только для положительных значений аргумента.

Свойство 4. Предел функции Лапласа при равен 0,5, то есть .

Доказательство.

, так как интеграл Пуассона , то .

Примечание. Так как и функция монотонно возрастает, то на практике с достаточной точностью можно считать, что для .

Построим график функции Лапласа (рис. 21).

Свойство 5. (О вероятностном смысле функции Лапласа). Значение функции Лапласа в точке t равно вероятности попадания нормированной нормально распределенной случайной величины в интервал .

Доказательство. Пусть Х - нормированная нормально распределенная случайная величина с плотностью распределения вероятности . Найдем вероятность попадания ее значений в интервал .

Рис. 21

.

Заметим, что с геометрической точки зрения значение функции Лапласа численно равно площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху нормированной нормальной кривой, снизу - осью OX, слева - осью OY и справа - прямой x = t (рис. 22).

Рис. 22

Примечание. Справедливость свойства функции Лапласа легко доказать, используя рис. 22. Действительно, как половина площади криволинейной трапеции под всей кривой распределения.