5.2. Распределение Пуассона

Пусть случайная величина Х - частота наступления маловероятного события А при n независимых испытаниях. Обозначим через p вероятность наступления события А в каждом испытании .

Пусть число испытаний n стремится к бесконечности, а величина р стремится к нулю, так что произведение остается небольшим . Тогда для нахождения можно применить асимптотическую формулу Пуассона:

, где m=0, 1, 2, … .

Пусть, например, m = 0. Тогда .

Если m = 1, то .

Если же m = 2, то и т.д.

В результате получим следующее распределение случайной величины X, называемое распределением Пуассона:

	0	1	2	3	...	m	...	n-1	n	...
					...		...			...	.

Проверим, является ли такое определение закона Пуассона корректным. Для этого найдем сумму ряда

.

Нетрудно заметить, что сумма ряда представляет собой разложение функции в ряд Маклорена. Откуда убеждаемся в том, что

.

Найдем числовые характеристики распределения Пуассона:

В скобках получили разложение в ряд Маклорена функции . Тогда будем иметь

.

.

Таким образом, В этом и заключается характеристическое свойство распределения Пуассона, которое используется на практике.

Например, пусть в результате некоторых опытов получено несколько значений дискретной случайной величины, закон распределения которой неизвестен. По эмпирическим данным найдены оценки математического ожидания и дисперсии этой случайной величины, то есть приближенные значения этих числовых характеристик. Если эти оценки будут близки между собой, то можно предположить, что случайная величина имеет распределение Пуассона.

По закону Пуассона распределены такие случайные величины, как число разговоров, регистрируемых на телефонной станции в течение определенного интервала времени; число обрывов нити в прядильном цехе; число дефектов в куске ткани определенной длины и др.

Распределение Пуассона еще называют законом распределения редких случайных величин.

Покажем, что распределение Пуассона обладает так называемым "свойством устойчивости". Это свойство для рассматриваемого закона выражается следующей леммой.

Лемма. Сумма двух независимых случайных величин, каждая из которых имеет распределение Пуассона, также распределена по закону Пуассона.

Доказательство. Предположим, что независимые случайные величины и имеют распределение Пуассона с параметрами и , соответственно. Тогда их сумма принимает значение с вероятностью

Применим теоремы сложения вероятностей для несовместных событий и умножения вероятностей для независимых событий. В результате вероятность можно переписать в следующем виде:

Так как случайные величины и имеют распределение Пуассона с параметрами и , то можно записать следующее:

и .

Поэтому

.

Учитывая, что , получим

.

Тогда вероятность примет вид

Учитывая разложение бинома , получим , то есть случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , что и требовалось доказать.