§15 Устойчивость решений.

Задано начальное условие – . .

Пусть некоторое фиксированное решение (1).

Определение: Решение системы называется устойчивым (в смысле Ляпунова), если , где расстояние в -мерном пространстве. В противном случае решение называется неустойчивым.

Определение: Решение системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и, кроме того,

, где

Смысл устойчивости: если чуть-чуть меняем начальные условия, то решение тоже мало меняется.

. Поэтому сразу будем считать, что (1) имеет нулевое решение . (Если нет, всегда можно сделать замену на , которое имеет нулевое решение ).

Пример: 1. . . – неустойчиво. Нулевое решение .

2. – асимптотически устойчивое решение.

Предположим, что в (1) правые части непрерывно дифференцируются.

Определение: Системой 1-го приближения для системы (1) называется следующая система:

Теорема: Если все собственные значения имеют отрицательные действительные части, то нулевое решение (1) устойчиво, и притом асимптотично. Если хоть одно собственное значение имеет положительную действительную часть, то нулевое решение (1) неустойчиво. Если все действительные части нулевые, то ничего не утверждается. (Без доказательства)

– многочлен такого вида возникает при нахождении собственных значений .

Определение: Матрица Грувица многочлена (3) – следующая матрица:

где – константы (3); если .

Критерий Раусса-Гурвица:

Для того, чтобы все корни (3) имели отрицательную действительную часть, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные миноры соответствующей матрицы Гурвица. (без доказательства).

Пример: Первое приближение:

.

– Перед старшей степенью многочлена всегда единичный коэффициент!!!!

Матрица Гурвица: .

По критерию Рауса-Гурвица все корни имеют отрицательную действительную часть. Тогда (по теореме) нулевое решение исходной системы устойчиво асимптотически.

Замечание: Если хоть один главный минор матрицы Гурвица , то не все действительные части собственных значений < 0. Может случится, что все они равны 0. Тогда нельзя сделать никаких выводов из теоремы. Т.е. критерий Рауса-Гурвица “работает в одну сторону”.

Приближенное вычисление 1-го приближения: через ряды Тейлора/Макларена.

Например, . ( остаточный член)

Пример: остаточный член.

остаточный член

§16 Фазовая плоскость.

Графики решений (интегральные кривые) .

Определение:

1. Фазовая плоскость системы (1) – пространство переменных

2. Фазовая траектория системы (1) – проекция любой интегральной кривой этой системы на фазовую плоскость.

3. Фазовая картина системы (1) – совокупность всех её фазовых траекторий.

В зависимости от свойств матрицы системы (1) существуют 9 различных фазовых картин. Они зависят от собственных значений матрицы . находятся как корни квадратного уравнения. Будем считать, что корней всегда 2, но, быть может, они совпадают. Начало координат – всегда одна из фазовых траекторий (соответствующих нулевому решению): .

Таблица 1.

Классификация фазовых картин:

№	Свойства матрицы	Название фазовых картин	Краткие пояснения	Схематичный рисунок
1.		седло	Вначале следует провести 2 прямые (сепаратрисы) через начало координат в направлении собственных векторов. Фазовыми траекториями будут 4 семейства кривых типа ветвей гиперболы, а также половинки сепаратрис, разделенные началом координат.
2.		узел	Вначале следует провести 2 сепаратрисы аналогично предыдущему случаю. Далее следует построить 2 семейства кривых типа парабол, касающихся в начале координат той сепаратрисы, которой соответствует наименьшее собственное значение. Фазовые траектории – половинки сепаратрис и части кривых, разделенные сепаратрисами.
3.		фокус	Фазовые траектории - семейство кривых типа логарифмических спиралей.
4.		центр	Фазовая траектория - семейство эллипсов, похожих на концентрические окружности с центром в начале координат.
5.		Параллельные полупрямые	Вначале следует провести сепаратрису через начало координат в направлении того собственного вектора, которому отвечает . Далее провести семейство прямых, параллельных тому собственному вектору, для которого . Фазовые кривые - всевозможные точки на сепаратрисе и половинки прямых, разграниченных сепаратрисами.
6.	и 2 линейно независимых собственных вектора	Дикритический узел	Фазовые траектории – всевозможные лучи, выходящие из начала координат.
7.	и 1 собственный вектор	Вырожденный узел	Вначале следует провести сепаратрису через начало координат в направлении собственного вектора. Затем – семейство характерных кривых, касающихся в начале координат сепаратрисы, и симметричных относительно начала координат. Фазовые траектории – половинки сепаратрисы и половинки кривых, разграниченных началом координат.
8.	и 1 собственный вектор	Параллельные прямые	Вначале – сепаратрису, аналогично предыдущему случаю. Фазовые траектории – всевозможные точки на сепаратрисе и всевозможные кривые, параллельные сепаратрисе.
9.	и 2 линейно независимых собственных вектора	Всевозможные точки	Фазовые траектории – всевозможные точки

Для матрицы реализуется ровно 1 из случаев. Для обоснования следует решить систему (1). Получим явные выражения функций:

Эти формулы – уравнения для фазовых траекторий в параметрическом виде, где – параметр.

Обоснуем пункт 6 (дикритический узел):

, 2 линейно независимых собственных вектора. Из линейной алгебры: только для матрицы вида справедливы такие свойства. Значит,

отвечает своя фазовая траектория.

Если то – начало координат (самостоятельная фазовая траектория).

полуоси – фазовые траектории.

фазовые траектории в I четверти.

При (оба ):

И т. д.

Пример: Для данных систем найти тип фазовой картины и изобразить фазовую картину.

Фазовая картина – седло.

собственный сектор.

собственный сектор.