§8 Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных.

1. Линейные однородные уравнения

определены в хотя бы одно . Пусть .

Определение: Системой в симметрической форме, соответствующей уравнению (1), называется система дифференциальных уравнений следующего вида:

Придадим ей следующий вид:

Теорема 1: Для того, чтобы была решением (1), необходимо и достаточно, чтобы была интегралом (2).

Док-во:

1. Пусть – интеграл (2) или (2^’), тогда по определению .

. По определению, – решение уравнения (1).

2. Те же рассуждения, но в другом порядке.

Теорема 2: Формула общего решения (1) имеет вид , где – независимые интегралы системы (2), а – произвольная дифференцируемая функция.

Док-во:

[Определение: Формула общего решения любого уравнения – такая формула, которая ничего иного, кроме решений, не содержит и по которой к любому решению можно придти].

1. Ничего иного не содержит

Т. е. ничего, кроме решений, (3) не дает.

2) произвольное зафиксированное решение (1). Покажем, что для

Произвольным образом возьмем и

зафиксируем .

Т. к. то у системы сущест-

вует ненулевое решение.

Т. к. есть еще нулевое решение, то (т. к. более одного решения) детерминант системы равен нолю.

Это Якобиан. Если он тождественно равен нолю, то функции зависимы, т. к. независимы, то такое, что ,

а дифференцируемо.

2. Квазилинейные уравнения.

Решать будем в неявном виде

Продифференцируем (5) по

Решив (6), найдем она и будет решением. Общее решение уравнения (4): , где произвольная дифференцируемая функция, независимый интеграл системы в симметричной форме, соответствующей (6).

Определение: Начальное условие для (1) и (4) – следовательно, дополнительное условие: ,

наперед заданное число, принадлежащее , наперед заданная функция.

(1), (8) или (4), (8) – задача Коши.

Схема решения этих задач:

1. (1), (8):

1) находим независимые интегралы соответствующей системы в симметричной форме (2).

2

находим эти

функции

) Надо решить эту систему

3)

II (4), (8):

1) – независимые интегралы системы в симметричной форме, соответствующей уравнению (6).

2) Составить и решить:

, , находим эти функции:

3)

Пример:

§9 Линейная зависимость функций.

Определение: Функции , определенные на интервале , называются линейно зависимыми на , если не все равные нолю, такие что Если же тождество справедливо лишь при , то функции линейно независимы.

Определение: Определитель Вронского раз дифференцируемых функций следующий определитель :

Теорема: Если линейно зависимы и на , то .

Док-во: Т. к. функции линейно зависимы, то не все равные нолю, . Дифференцируем. . Зафиксируем . Тогда Рассмотрим эту линейную систему как систему от . Тогда у нее (по условию не все ) существует нетривиальное решение. См. предыдущую лекцию. системы равен нолю, а системы равен . . Т. к. производная, то .

Следствие: линейно независимы.

Доказательство проводим от противного.

Примеры линейно зависимых функций:

1) линейно зависимы .

2) Если то функция линейно зависима для

.

Примеры линейно независимых функций:

1) линейно независимы для . Многочлен степени не выше не может иметь более корней, а на отрезке число точек равно бесконечности. Поэтому линейно независимы.

Следствие: Многочлены равны равны коэффициенты при одинаковых степенях .

Тогда

2) линейно независимы , где попарно неравные.

[определитель Вандермонда – из произведений разностей . Т. к. они попарно различны, то он не равен нолю; ] . По следствию из теоремы линейно независимы.

3)

т.е линейно независимы.

Запишем , т.е. теорема не верна в обратную сторону!!!

4) линейно независимы

Все ; Все . попарно различны. ; попарно различны (т.е. различны оба числа). (Без доказательства)