§4 Линейные уравнения первого порядка и уравнения, сводящиеся к ним.
― линейное
уравнение
― уравнение такого вида
― коэффициент
уравнения
― правая
часть, (неоднородность уравнения),
свободный член.
― ?
.
― линейный оператор, т.е.
.
(функции образуют линейное пространство)
однородное
неоднородное.
Свойства линейных уравнений ― из линейной алгебры:
Общее
решение неоднородного линейного
уравнения ― сумма общего решения
однородного линейного уравнения и
некоторого частного решения неоднородного
.
Сумма
частных решений однородного линейного
уравнения ― решение однородного
линейного уравнения.
Однородное
линейное уравнение
,
,
(
― некая константа
,
)
Т.к.
,
то
.
Обозначим
.
― общее решение однородного линейного уравнения
Неоднородное
линейное уравнение
.
Для решения неоднородного линейного
уравнения существуют разные методы
(читать учебники).
Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной):
нужно
подобрать.
.
Нужно еще обосновать, что других решений нет
При
слагаемое №1 ― частное решение
неоднородного дифференциального
уравнения, а слагаемое с №2 ― общее
решение однородного линейного уравнения.
По
свойству 1(!)
―
общее решение неоднородного линейного
уравнения (т.е. других нет).
Пример:
Если , то решать сложно.
Пусть .
― линейное
уравнение
.
Решим
однородное:
Потенцируем,
преобразуем, меняем ОДЗ
.
Метод
Лагранжа:
.
.
Ответ:
.
Уравнения, сводящиеся к линейным:
― уравнение
Бернулли
Если
,
то линейное неоднородное,
,
то линейное однородное .
Далее
.
.
Делим уравнение Бернулли на
:
.
― уже
линейное уравнение
― линейное
уравнение относительно
.
― уравнение
Риккати
Можно
свести к уравнению Бернулли, если
известно некоторое частное решение
.
― уравнение
Бернулли
Не существует общего метода нахождения частного решения уравнения Риккати , поэтому в общем случае уравнение Риккати не решается в квадратурах.
Частный случай уравнения Риккати:
.
.
При
нужно искать другие частные решения.
При
выбираем 1 частное решение.
§5 Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной
Если
уравнение разрешено относительно
,
т.е.
,
то это частный случай
.
1)
― неполное уравнение, разрешенное
относительно
,
(Т.к.
не входит
)
Вводим
параметры:
―
параметрический вид
(Параметр ― вспомогательная независимая переменная)
(можно
не писать
,
но в дифференциальных уравнениях
принято)
Пример:
.
Ответ:
2)
― неполное уравнение, разрешенное
относ.
Ответ:
Пример:
.
Ответ:
3)
― уравнение, разрешенное относительно
― уравнение,
разрешенное относительно
(может
и не решаться)
.
Остается решить
.
Получим
― принято писать
Ответ:
― решение
(параметрическое)
4)
― уравнение, разрешенное относительно
,
― разрешенное
относительно
Ответ:
5) Частный случай (6)
― уравнение
Клеро.
Пример:
Общее
решение:
Ответ:
.
(парабола касается всех этих прямых).
6)
― уравнение
Лагранжа
(частный
случай
)
― линейное
уравнение
Пример:
.
Ответ:
