16. Приведение линейного уравнения 2-го порядка к уравнению, не содержащему члена с первой производной.

(1)

1. Сделаем замену (2), где z(x) – новая неизвестная функция, - дважды дифференцируемая в интервале непрерывности коэффициентов уравнения (1).

(3).

Подставим (3) в уравнение (1) и разделим на . Получим:

(4).

Приравняем коэффициент при к нулю.

(5).

Положим С=1: (5’).

Таким образом, (6)

(7).

Тогда уравнение (6) принимает вид: (8).

Функция называется инвариантом уравнения (1).

(8’).

Если интегрируется уравнение (8’), то интегрируется и уравнение (1).

Очевидно, что если Q(x)=const, или , то (8’) интегрируется в квадратурах.

Пример.

Подставляя значение функции и её производных в исходное уравнение, получаем

- уравнение Эйлера

- общее решение данного уравнения.

2. Избавимся от члена с первой производной, делая замену независимой переменной.

(1).

(9)

(10).

Подставим (10) в уравнение (1) и разделим на . Получим: (11).

Приравняем коэффициент при к нулю.

(12).

Интегрируя уравнение (12), получим, что (13).

Уравнение (1), заменой (13), приводится к виду

(14), не содержащему первой производной.

Пример. (15)

Сделаем замену (13): .

(16)

- общее решение уравнения (15).

17. Построение общего решения однородного линейного уравнения второго порядка в случае, когда известно одно частное решение.

(1).

У₁ – частное решение уравнения (1), т.е. L[y] = 0.

Сделаем замену (2)

(3).

Подставим (3) и (2) в (1). Получим

(4)

(5)

(6). Положим с=1, тогда: (7).

(8) - общее решение уравнения (1).

Пример. (9).

Рассмотрим:

Таким образом: - общее решение уравнения (9).

ЛЕКЦИЯ 6:

18. Интегрирование при помощи степенных и обобщённых степенных рядов.

Определение: Функция называется голоморфной в точке , если она представима в точке , т.е. , причём ряд сходится в интервале , ( ).

Сформулируем теорему Коши для линейного дифференциального уравнения n-ого порядка:

(1).

Заданы начальные условия , ,…, при

Теорема Коши:

Если все функции и являются голоморфными в точке , т.е. , , -сходятся в области . Тогда существует единственное решение с заданными начальными условиями, голоморфными в области ,

(2)

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка.

(3)

, , ,

, при (3)

Тогда на основании теоремы Коши существует единственное голоморфное в окрестности решение (4)

Подставим решение (4) в уравнение (3):

+ + (5)

или

+ + (6)

Воспользуемся формулой произведения степенных рядов.

(7)

Тогда уравнение (6) имеет вид:

+ + (8)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим:

+ + (9)

: , находим С₂

: , находим С₃.

И так далее.

Коэффициенты находятся единственным образом.

+ +

Пусть , и ,

Тогда мы получим два частные решения и , которые образуют в интервале фундаментальную систему.

Следовательно, общее решение построено в окрестности точки , которая называется обыкновенной.

Точка называется обыкновенной, если все коэффициенты уравнения голоморфны в этой точке, в противном случае, точку будем называть особой точкой дифференциального уравнения.

На практике удобно брать фундаментальную систему решений ??? в точке .

В нашем случае .

(10)

,

определяя коэффициенты и по формуле (9).

Пример 1:

Рассмотрим уравнение Эйри:

(11)

очевидно, что обыкновенная точка.

, (12)

Подставим (12) в уравнение (11):

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим:

:

:

:

:

:

:

Аналогично находим :

- общее решение уравнения Эйри.

Рассмотрим уравнение Бесселя n-ого порядка:

(13),

когда (14)

-особая точка.

Пусть , замена (15)

Приводим уравнение (14) к уравнению:

(16)

, или

(17)

Функция Бесселя порядка:

: (18)

- :

Ни , ни не являются голоморфными решениями в окрестности точки . Этого следовало ожидать, т.к. является особой точкой.

Обобщённым степенным рядом по степеням называется ряд вида , где показатель ρ есть некоторое постоянное число, а ряд есть сходящийся степенной ряд, причём .

Какой вид должны иметь коэффициенты уравнения (1) в окрестности особой точки , чтобы хоть одно из частных решений было представимо в окрестности этой особой точки в виде обобщённого степенного ряда по степеням , т.е. , (19)

Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема:

Теорема:

Для того, чтобы уравнение (1) имело в окрестности точки хоть одно частное решение в виде обобщённого степенного ряда (19), достаточно, чтобы это уравнение имело вид:

, (20)

где , сходящиеся степенные ряды при , причём не равны нулю одновременно, ибо в противном случае точка не особая и существует два линейно независимых решения, голоморфных в точке , и ряд заведомо сходится в той же области.

ЛЕКЦИЯ 7.