31. Простейшие типы точек покоя.

Рассмотрим линейную систему с постоянными коэффициентами

(1) и исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя x = 0, y = 0.

Пусть (2) тогда (3).

Тем самым мы предполагаем, что корни характеристического уравнения (3) отличны

от нуля.

Ι. Характеристическое уравнение имеет действительные и различные корни.

1) . Общее решение имеет вид (4).

Тогда точка х = 0, у = 0 асимптотически устойчива, так как все точки, находящиеся в момент t = t₀ в любой -окрестности начала координат (при ) стремятся к началу координат.

Такая точка покоя называется устойчивым узлом.

2) . Точка покоя неустойчива, так как движущаяся по траектории точка с возрастанием t покидает -окрестность начала координат. Можно отметить, что есть движения, приближающиеся к началу координат: .

ΙΙ. Корни характеристического уравнения (3) являются комплексными.

.

Общее решение записывается в виде:

(5), где и - линейные комбинации и .

1) .

с возрастанием t, а второй множитель является ограниченным. Точки, находящиеся при в любой - окрестности начала координат, попадают в -окрестность при возрастании t. Такая точка покоя называется устойчивым фокусом.

Фокус отличается от узла тем, что касательная к траекториям не стремится к определённому пределу при приближении точки касания к точке покоя.

2) .

Траектории те же, но движение по ним происходит в обратном направлении. Точка покоя неустойчива. Это неустойчивый фокус.

3) .

В силу периодичности решений, траектории – замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку покоя, которая в этом случае называется центром. Центр является устойчивой точкой покоя (но асимптотически устойчивой точкой его назвать нельзя).

ΙΙΙ. Корни кратные ( ).

1) < 0.

Общее решение имеет вид (6), причём, здесь возможна ситуация, когда .

при . Точки покоя называются устойчивыми узлами. Если ,

то такой узел называется дикритическим (устойчивый).

2) >0.

Траектории не отличаются от траектории предыдущего случая, но движение по ним происходит в обратном направлении. В этом случае точка называется неустойчивым узлом.

Рассмотрим случай, когда .

Тогда характеристическое уравнение (3) имеет нулевой корень . Предположим, что . Тогда общее решение имеет вид:

(7).

Исключая из системы (7) t, получим семейство параллельных прямых:

(8).

Если с₂ = 0, получим однопараметрическое семейство точек покоя, расположенных на прямой . Если , то при на каждой траектории точки приближаются к лежащей на этой траектории точке покоя .

Точка покоя х = 0, у = 0 устойчива, но асимптотической устойчивости нет.

Если же , то траектории расположены также, но движение точек на траекториях покоя осуществляется в противоположном направлении. Точка покоя х = 0, у = 0 неустойчива.

3) .

В этом случае можно выделить два подпункта:

1. Общее решение имеет вид: - все точки являются точками покоя, все решения устойчивы.

2. Общее решение имеет вид: , и - линейные комбинации и . Точка покоя х = 0, у = 0 неустойчива.

ЗАМЕЧАНИЕ. Точки покоя х = 0, у = 0 системы (1) является особой точкой уравнения .

ЛЕКЦИЯ 12:

Результат об устойчивости и неустойчивости точки покоя , .

Система

Можно распространить и на линейную систему с постоянными коэффициентами го порядка:

,

Если все действительные части корней характеристического уравнения отрицательны, то тривиальное решение это , асимптотически устойчиво.

Если хоть один корень имеет действительную положительную часть, то неустойчиво.