4. Оптимальная загрузка складов

Грузовой район, порт располагает n складами каждый с полезной площадью F_j и должен переработать различных m грузов, суточный грузооборот каждого из которых G_i.

Разрабатываем оптимальный план загрузки складов при минимизации затрат складской площади на освоение заданного грузооборота.

(46)

где g_ij – параметр управления – количество i-го вида груза, хранимого на j-ом складе;

c_ij – удельная складоемкость i-го вида груза на j-ом складе, характеризует комплексный объем работ склада в квадратных метрах в сутки, приходящийся на 1 т груза.

Математическая модель задачи оптимального плана загрузки складов состоит из целевой функции L и ограничений:

_{- по грузообороту}

(47)

G_i – суточный грузооборот i-го груза, т;

- по емкости склада

, (48)

где F_j – полезная площадь j-го склада, м²;

- условие неотрицательности

g_ij ≥ 0 (i=1,m; j=1,n) (49)

Удельная складоемкость i-го вида груза на j-ом складе вычисляем по формуле

c_ij = t_хi / Р_вij, (50)

где t_хi – срок хранения i-го вида груза, сут.

Составляем распределительную таблицу, в которой будет производиться размещение груза по складам (таблица 4.1).

Таблица 4.1

Распределительная таблица

Грузы RiSj		Склады				Суточный грузооборот Gi , т	Склад- Вагон
		3	31	58	71
		0,928	1,216	1,22	1
Нитролаки	14,11	16,5  = 1,26	16,34  = 0,949	21,28  = 1,24	14,11 1171,13 83	83 0	0,24
Рыба вяленая	28,1	33,76  = 1,29	33,38  = 0,949	34,29 3166,76 92,35		165 72,65 0	0,375 27,24 72,65
Хлопок малопрес.	25,64	23,81 4500 189	31,18 5000 160,36	31,32 333,24 10,64	25,64 0	360 171 10,64 0	0,42
Графит	5,84	6,83  = 1,26	6,77  = 0,95	8,91  = 1,25	5,84 3328,8 570	570 0	0,11
Балка двутавровая	15,51				15,51 2000,07 128,95	185 56,05 0	0,31 13,37 56,05
Площадь склада Fпj, м2		4500 0	5000 0	3500 3166,76 0	6500 3171,2 2000,07 0

Так как площадей складов не хватает для размещения заданных грузопотоков, в распределительную матрицу добавляем столбец, в котором используются вагоны как «склад на колесах». Удельная складоемкость определяется так:

c_ij = t_хi / Р_вагi , (51)

(для всех грузов кроме балки выбран вагон крытый металлический грузоподъемностью 64 т, а для балки – 6-осный металлический полувагон). Этот дополнительный столбец в оптимизационных расчетах не участвует.

Проверяем план на опорность.

Условием опорности является то, что количество занятых клеток должно быть равно

m + n -1 (52)

m – количество строк,

n – количество столбцов.

Для данной задачи m + n –1 = 5 + 4 – 1 = 8, а количество занятых клеток – 7. Таким образом, план – не опорен. Исходя из этого, в одну из свободных клеток (клетка 34) ставим 0, так чтобы не образовался цикл и эта клетка считается занятой.

Проверяем план на оптимальность.

Для этого, исходя из условия, что для опорного плана

R_i · S_j = c_ij (53)

и приравняв в одном столбце значение S_j единице, рассчитываем все значения R_i, S_j .

Условием оптимальности то, что для всех свободных клеток

R_i · S_j  c_ij (54)

Поэтому по всем свободным клеткам рассчитываем

_ij = c_ij / (R_i · S_j ) (55)

Улучшение плана проводим таким образом: выбираем клетку, для которой _ij –min, и составляем новую распределительную таблицу, причем, эту клетку заполняем в первую очередь. Заполняя новую таблицу (таблица 4.2) учитываем также невязки между значениями c_ij для разных клеток отдельных строчек и соответственно распределяем грузопотоки между складами.

Так как площадей складов не хватает для размещения заданных грузопотоков, в распределительную матрицу добавляем столбец, в котором используются вагоны как «склад на колесах». Удельная складоемкость определяется так:

c_ij = t_хi / Р_вагi , (55)

(для всех грузов кроме балки выбран вагон крытый металлический грузоподъемностью 64 т, а для балки – 6-осный металлический полувагон). Этот дополнительный столбец в оптимизационных расчетах не участвует.

Проверяем план на опорность.

m + n –1 (56)

где m – количество строк,

n – количество столбцов.

Таблица 4.2

Распределительная таблица

Грузы RiSj		Склады				Суточный грузооборот Gi , т	Склад- Вагон
		3	31	58	71
		0,928	1,159	1,22	1
Нитролаки	14,09	16,5  = 1,26	16,34 1356,2 83	21,28  = 1,2379	14,11  = 1,001	83 0	0,24
Рыба вяленая	28,1	33,76  = 1,29	33,38  = 1,02	34,29 2350,6 68,5		165 96,5 0	0,375 36,187 96,5
Хлопок малопрес.	25,64	23,81 4500 189	31,18  = 1,049	31,32 1149,4 36,7	25,64 3444,9 134,3	360 171 36,7 0	0,42
Графит	5,84	6,83  = 1,26	6,77 3643,8 538,2	8,91  = 1,25	5,84 185,7 31,8	570 31,8 0	0,11
Балка двутавровая	15,51				15,51 2869,4 185	185 0	0,31
Площадь склада Fпj, м2		4500 0	5000 3643,8 0	3500 2350,6 0	6500 3630,6 3444,9 0

Для данной задачи m + n –1 = 5 + 4 – 1 = 8, а количество занятых клеток – 7. Таким образом, план – не опорен. Исходя из этого, в одну из свободных клеток (клетка 34) ставим 0, так чтобы не образовался цикл и эта клетка считается занятой.

Проверяем план на оптимальность.

Для этого, исходя из условия, что для опорного плана R_i · S_j = c_ij и приравняв в одном столбце значение S_j единице, рассчитываем все значения R_i, S_j .

Условием оптимальности то, что для всех свободных клеток R_i · S_j  c_ij. Поэтому по всем свободным клеткам рассчитываем _ij = c_ij / (R_i · S_j )

Проверяем план на опорность.

Проверяем план на оптимальность.

Если все _ij  1, план является оптимальным, то есть мы получили матрицу оптимального распределения грузов по складам.

₁₁ = 16,5 / (14,11 · 0,928) = 1,26  1,

₁₂ = 16,34 / (14,11 · 1,216) = 0,949  1,

₁₃ = 21,28 / (14,11 · 1,22) = 1,24  1,

₂₁ = 33,76 / (28,1 · 0,928) = 1,29  1,

₂₂ = 33,38 / (28,1 · 1,216) = 0,986  1,

₄₁ = 6,83 / (5,84 · 0,928) = 1,26  1,

₄₂ = 6,77 / (5,84 · 1,216) = 0,95  1,

₄₃ = 8,91 / (5,84 · 1,22) = 1,25  1.

Так как не для всех клеток _ij  1, план не является оптимальным и требует улучшения.

Улучшение плана проводим таким образом: выбираем клетку, для которой _ij –min (это клетка 12), и составляем новую распределительную таблицу, причем эту клетку заполняем в первую очередь. Заполняя новую таблицу (таблица 4.2) учитываем также невязки между значениями c_ij для разных клеток отдельных строчек и соответственно распределяем грузопотоки между складами.

Проверяем план на опорность.

m + n –1 = 5 + 4 – 1 = 8, количество занятых клеток – 8, значит план – опорный.

Проверяем план на оптимальность.

₁₁ = 16,5 / (14,09 · 0,928) = 1,26  1,

₁₃ = 21,28 / (14,09 · 1,22) = 1,2379  1,

₁₄ = 14,11 / (14,09 · 1) = 1,001  1,

₂₁ = 33,76 / (28,1 · 0,928) = 1,26  1,

₂₃ = 33,38 / (28,1 · 1,159) = 1,02  1,

₃₂ = 31,18 / (25,64 · 1,159) = 1,049  1,

₄₁ = 6,83 / (5,84 · 0,928) = 1,26  1,

₄₃ = 8,91 / (5,84 · 1,22) = 1,25  1.

Так как все _ij  1, план является оптимальным, то есть мы получили матрицу оптимального распределения грузов по складам.