Розв’язання систем звичайних диференціальних рівнянь
Розглянемо задачу Коші
(11.73)
Рішенням
системи ЗДР другого (взагалі n-го
порядку)
є пара
диференційованих функцій
з наступними властивостями. Якщо
підставити
в
і
то в результаті одержимо похідні
і
,
тобто
з
(11.74)
Чисельний
розв’язок системи на інтервалі
знаходиться за допомогою розгляду
диференціалів
Метод
Ейлера для
рішення системи можна одержати подавши
диференціали у вигляді:
:
(11.75)
Використовуючи добуті знання можна побудувати загальні формули розв’язання ЗДР n –го порядку. Для рівняння другого порядку рекурентна загальна формула кроку методу Ейлера має вид
,
,
(11.76)
,
.
Рекурентна формула методу Рунге-Кутта 4-го порядку для рішення системи диференціальних рівнянь другого порядку має вид
,
,
,
,
,
(11.77)
,
,
,
,
.
Лекція №12 Крайові задачі. Методи пристрілки і кінцевих різниць.
Стандартна постановка крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь виглядає в такий спосіб
,
(12.79)
а додаткові умови ставляться більш, ніж в одній точці відрізка інтегрування рівнянь. (Зрозуміло, що в цьому випадку порядок системи не може бути менше другого):
,
, (12.80)
.
Загальна класифікація методів рішення крайових задач та ж, що й у випадку задачі Коші: існують точні, наближені і чисельні методи. Про точні методи сказано раніше. Серед наближених методів можна вказати методи Рітця, Гальоркіна, метод рядів Фур'є.
Чисельні способи рішення крайових задач представлені на практиці двома методами: пристрілки і різницевим.
Метод пристрілки
Відповідно до даного методу крайова задача зводиться до задачі Коші, рішення якої здійснюється одним із вже описаних методів.
Як приклад розглянемо систему двох диференціальних рівнянь досить загального вигляду з крайовими умовами
,
(12.81)
,
(12.82)
,
(12.83)
,
(12.84)
.
Призначаємо
довільно
, тоді рівняння (12.83) прийме вигляд
,
відкіля в принципі знаходиться
.
Отже, крайова задача звелася до задачі Коші з початковими умовами
, .
Після
чисельного інтегрування виписаної
системи рівнянь буде отримано рішення
і
,
тобто знайдені функції будуть залежати
від параметра
,
довільно заданого спочатку.
У силу
довільності вибору права крайова умова
(12.84) не буде задоволена, тобто
.
Змінюючи
параметр
треба домогтися того, щоб
звернулася в нуль, тобто необхідно
відшукати корінь рівняння
.
(12.85)
Найпростіший підхід тут складається в застосуванні методу половинного ділення. Алгоритм розрахунку при цьому буде наступним.
Виконують
розрахунки з декількома, узагалі говорячи
довільними, значеннями
,
маючи за мету одержати значення
різні за знаком. Як тільки даний результат
буде досягнутий, корінь функції (12.85)
виявляється локалізованим. Далі методом
половинного ділення знаходиться шукане
значення кореня (12.85). Для визначення
значення
на кожнім кроці даного методу вирішується
система (12.81) - (12.84).
Процес
можна трохи детермінувати, якщо
застосувати метод січних. При цьому
тільки перші два рішення системи (12.81)
- (12.84) знаходяться з навмання вибраними
значеннями
і
.
Усі наступні уточнення параметра
здійснюються за формулою методу січних
.
Варто пам'ятати, що метод січних добре сходиться тільки поблизу кореня, тобто саме одержання результату сильно залежить від того, наскільки вдалим виявилося початкове наближення.
Метод пристрілки застосовується для рішення лінійних і нелінійних задач і дозволяє використовувати добре розроблені алгоритми для задач Коші. Труднощі можуть з'явитися в ситуаціях, коли крайова задача добре обумовлена, а відповідна задача Коші погано обумовлена. У цьому випадку доцільно поставити початкові умови на іншому кінці відрізка і з нього почати процедуру рішення. При негативному результаті й у цьому випадку необхідно перейти до різницевих методів.