1.4Закон радіоактивного розпаду

Радіоактивний розпад – явище принципово статистичне. Ядра розпадаються незалежно одне від одного. Неможливо передбачити, коли саме розпадеться дане ядро; можна лише вказати, з якою ймовірністю воно розпадеться за той чи інший проміжок часу.

Основною статистичною величиною, що характеризує радіоактивний розпад, є ймовірність λ розпаду одного ядра даного ізотопу за одиницю часу. Величину λ називають сталою розпаду ядра.

Будемо вважати, що в початковий момент часу t₀ = 0 кількість радіоактивних ядер достатньо велика і дорівнює N₀. Внаслідок розпаду кількість радіоактивних ядер поступово зменшується і в момент часу t становитиме N(t) ядер. Знайдемо вид цієї залежності.

Зміна dN числа радіоактивних (тих, що не розпалися) ядер за малий проміжок часу від t до t+dt:

.

Очевидно, кількість ядер, що розпалися за цей же інтервал часу дорівнюватиме (–dN) – зменшення числа радіоактивних ядер дорівнює збільшенню кількості тих, що розпалися. З іншого боку, число радіоактивних розпадів пропорційно, крім λ, як числу ядер N, так і тривалості інтервалу dt. Звідси дістанемо, що із загальної кількості N(t) радіоактивних ядер за вказаний проміжок часу розпадається в середньому λ·N(t)·dt ядер.

Отже диференціальне рівняння для визначення залежності N(t) має вигляд:

, (5)

при початковій умові N(0) = N₀.

Інтегруючи це рівняння дістанемо закон радіоактивного розпаду:

. (6)

Поряд з сталою λ радіоактивні ізотопи характеризують ще двома величинами: періодом напіврозпаду T та середнім часом життя τ.

Періодом напіврозпаду називають проміжок часу, за який число радіоактивних ядер даного ізотопу зменшується удвічі. Цей час визначається з умови:

,

або, враховуючи (6):

.

Розв’язавши останнє рівняння відносно T, знаходимо:

. (7)

Середнім часом життя називають величину

,

яка визначає проміжок часу, протягом якого початкове число радіоактивних ядер зменшується у е разів.

При роботі з препаратами радіоактивних речовин важливо знати швидкість розпаду радіоактивних ядер. Такою характеристикою є активність а – величина, яка дорівнює числу радіоактивних розпадів, що відбуваються в препараті за одиницю часу:

.

Порівнюючи цей вираз з рівнянням (5) або диференціюючи рівняння (6), одержимо:

(8,а)

або

. (8,б)

В останній формулі добуток λ·N₀ перед експонентою має фізичний зміст початкової активності а₀ препарату. Отже, формулу (8,б) можна подати у вигляді:

. (9)

Одиницею вимірювання активності в СІ є бекерель (1 Бк = 1 розпад/с). Поряд з бекерелем можна зустрітися і з позасистемною одиницею активності – кюрі. Активність 1 Кі дорівнює кількості розпадів, які відбуваються щосекунди в одному грамі чистого ізотопу ²²⁶Ra, період напіврозпаду якого T = 1620 років. Співвідношення між цими одиницями таке: 1 Кі = 3,7∙10 ¹⁰ Бк.

1.5Закон поглинання випромінювання

Потоки заряджених частинок, нейтронів та γ-квантів мають спільну назву – іонізуючі випромінювання. При розповсюдженні в речовині такі частинки, втрачаючи свою енергію на іонізацію та збудження атомів та молекул, поступово поглинаються речовиною. Процеси поглинання іонізуючих частинок дуже різноманітні і в значній мірі залежать як від характеристик частинок – енергії, маси, наявності електричного заряду, так і від характеристик поглинаючої речовини – атомного складу, агрегатного стану тощо.

α-Частинки внаслідок великої маси та наявності електричного заряду дуже швидко втрачають енергію при електромагнітних взаємодіях з ядрами та електронами атомів речовини. Тому максимальні пробіги α-частинок не перевищують кількох сантиметрів у повітрі та 0,1 мм у рідких або твердих матеріалах, а також у біологічних тканинах.

β-Частинки, в залежності від енергії, мають пробіги до кількох метрів у повітрі та кількох сантиметрів у конденсованих середовищах та біологічних тканинах.

γ-Кванти внаслідок відсутності електричного заряду та маси спокою мають найбільшу проникна здатність. Середні пробіги γ-квантів у повітрі ~ 100 м, а у конденсованих середовищах та біологічній тканині до 10 – 15 см.

В роботі з радіоактивними джерелами часто виникає потреба розраховувати поглинання іонізуючого випромінювання різними матеріалами. Детальні розрахунки поглинання різних видів випромінювання в тому чи іншому матеріалі досить складні. Але для наближених оцінок поглинання β- та γ-випромінювання можна користуватися спрощеною формулою, яка називається законом поглинання.

Виведення закону поглинання ґрунтується на тих самих міркуваннях, що і виведення закону радіоактивного розпаду (див. розділ 1.4).

Будемо розглядати вузький пучок моноенергетичних частинок, що падає нормально на поверхню однорідної речовини (поглинача). Спрямуємо координатну вісь Х в напрямку руху частинок, а початок відліку координат (х = 0) виберемо на поверхні. При такому способі відліку координата х > 0 буде показувати відстань від поверхні поглинача до точки, розташованої у глибині поглинача.

Якщо прийняти, що на поверхню поглинача падає щосекунди N₀ частинок, то на глибині х від поверхні потік частинок внаслідок поступового поглинання зменшиться і становитиме N(x) частинок за секунду. Залежність N(x) і називають законом поглинання. Знайдемо цю залежність.

Частинки випромінювання поглинаються в речовині незалежно одна від одної і передбачити, на якій саме глибині відбудеться поглинання даної частинки, неможливо. Можна лише говорити про ймовірність поглинання частинок на даній глибині. Це означає, що поглинання частинок відноситься до статистичних явищ. Позначимо через  ймовірність поглинання частинки на одиничній відстані в даній речовині. Величина , яку називають лінійним коефіцієнтом ослаблення, залежить від енергії частинок і складу речовини поглинача. Для моноенергетичних частинок і однорідної речовини коефіцієнт поглинання можна вважати сталим. Зменшення числа частинок в тонкому шарі dx, розташованому на відстані х від поверхні поглинача, тобто в інтервалі від х до х + dx, пропорційно коефіцієнту поглинання , товщині поглинаючого шару dx та загальній кількості частинок N(x), які досягли глибини х, уникнувши поглинання:

.

Інтегруючи це рівняння і враховуючи граничну умову N(0) = N₀, дістанемо закон поглинання:

(10, а)

або

, (10. б)

де – товщина матеріалу, при якій інтенсивність випромінювання зменшується в е разів. Ця величина називається середньою довжиною пробігу частинок в речовині або довжиною релаксації.

Лінійний коефіцієнт ослаблення прямо пропорційно залежить від густини  матеріалу поглинача. Тому часто поряд з  користуються масовим коефіцієнтом ослаблення μ_m:

. (11)

При даній енергії частинок коефіцієнт _m має приблизно однакові значення для різних матеріалів.

Ще однією зручною характеристикою поглинача є шар половинного ослаблення     _½ – товщина шару поглинача, при якій потік випромінювання внаслідок поглинання зменшується удвічі. Коефіцієнт ослаблення μ зв’язаний з величиною     _½ співвідношенням:

, (12)

(порівняйте з формулою (7) і поясненнями до неї).