Примеры решения задач

Задача 1.

Шарик массой m, летящий со скоростью v, ударяется о стенку под углом α к ней и отскакивает под тем же углом без потери скорости. Определите направление и модуль вектора изменения импульса шарика за время удара.

Дано: m, v, α.

Найти: Δр.

Решение.

Так как импульс — величина векторная, то искомое изменение импульса шарика равно геометрической разности конечного и начального значений импульса:

Учитывая, что модуль скоростей не изменяется, т.е.

Из рисунка находим модуль изменения импульса:

Задача 2.

Кубик из пенопласта массой 100 г лежит на горизонтальной подставке. Высота кубика 10 см. Снизу кубик пробивает вертикально летящаяпуля массой 10 г. Скорость пули при входе в кубик 100 м/с, при вылете — 95 м/с. Подпрыгнет ли кубик?

Дано: m₁ =0,100 кг, h = 0,10 м, m₂ = 0,010 кг,v₁ = 100 м/с, v₂= 95 м/с.

Найти: F.

Решение. Кубик подпрыгнет, если модуль силы, действующей на кубик со стороны пули, будет больше его силы тяжести F > m₁g.

Для нахождения этой силы, рассмотрим пулю. На нее действует сила тяжести и со стороны кубика сила F', равная по модулю согласно третьему закону Ньютона силе F.

Запишем второй закон Ньютона в импульсной форме:

или в проекции на ось Оу:

Считая, что пуля внутри кубика движется равнозамедленно, можно найти время:

ВВЕДЕНИЕ 4

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ 6

1. Импульс тела 6

2. Закон сохранения импульса 7

3. Реактивное движение 9

4. Механическая работа 12

5. Работа силы тяжести 15

6. Работа силы упругости 16

7. Работа силы трения 17

8. Мощность 18

9. Механическая энергия 20

10. Кинетическая энергия 20

11. Потенциальная энергия тела при гравитационном взаимодействии 22

12. Потенциальная энергия упруго деформированного тела 23

13. Закон сохранения энергии в механике 24

14. Изменение механической энергии в незамкнутой системе 25

15. Закон сохранения и превращения энергии 26

16. Упругие и неупругие соударения тел 26

17. Простейшие механизмы 27

18. Равенство работ при использовании простых механизмов 32

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ 35

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 38

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 54

ПРИЛОЖЕНИЕ 60

Тест 60

Домашняя контрольная работа 64

Подставим во второй закон Ньютона:

откуда

Подставив численные значения, получим F= 50 Н. Следовательно, ку­бик подпрыгнет, так как m₁g= 1,0 Н.

Задача 3.

В результате взрыва камень разлетается на три куска. Два куска летят под прямым углом друг к другу: кусок массой 1,0 кг — со скоростью 12 м/с, кусок массой 2,0 кг — со скоростью 8,0 м/с. Третий кусок отлетает со скоростью 40 м/с. Какова масса третьего куска и в каком направлении он летит?

Дано: m₁ = 1,0 кг, v₁=12 м/с, m₂ = 2,0 кг, v₂ = 8,0 м/с, v₃ = 40 м/с.

Найти: m₃, α.

Решение. Система "камень—куски" незамкнута вследствие действия силы тяжести. Однако задача может быть решена на основании ЗСИ, так как время разрыва мало. До разрыва камень покоился, поэтому импульс его был равен нулю.

После разрыва импульсы кусков соответственно p₁, р₂, р₃. Запишем ЗСИ:

Геометрическая сумма импульсов первых двух кусков

Из ЗСИ

Следовательно,

Из рисунка находим по теореме Пифагора

Поэтому

Следовательно,

Подставим численные значения, получим: m₃=0,50 кг; tgα = 0,75; α = 53°.

Задача 4.

Мальчик, бегущий со скоростью 4,0 м/с, догоняет тележку, движущуюся со скоростью 3,0 м/с, и вскакивает на нее. Масса мальчика 50 кг,тележки 80 кг. Найдите скорость тележки в тот момент, когда на нее вскочил мальчик.

Дано: v₁ = 4,0 м/с, v₂=3,0 м/с, m₁ = 50 кг, m₂= 80 кг.

Найти: v.

Решение. Рассмотрим систему "мальчик—тележка". Поскольку силы взаимодействия мальчика и тележки с Землей не имеют составляющих в горизонтальном направлении, то для горизонтальных составляющих импульсов можно записать ЗСИ.

До взаимодействия импульс мальчика равен , импульс тележки равен

По закону сохранения импульса

или в проекции на ось Ох:

Задача 5.

Вертолет, масса которого с грузом 6,0•10³ кг, за 2,5 мин набралвысоту 2250 м. Определите работу двигателя за это время, считая подъем вертолета равноускоренным.

Дано: m= 6,0•10³ кг, t= 1,5•10² с, h = 2250 м.

Найти: А.

Решение. Искомая работа

A=Fh,

где F — сила тяги двигателя. Для ее нахождения рассмотрим, какие силы действуют на вертолет:

сила тяги F и сила тяжести mg.

Основное уравнение динамики:

В проекции на ось Оу:

При равноускоренном движении пройденный путь

Искомая работа

Задача 6.

К лежащему на горизонтальной поверхности бруску массой 12 кгприкреплена невесомая пружина жесткостью 300 Н/м . Коэффициент трения между бруском и поверхностью 0,40. К свободному концу пружины приложена внешняя сила под углом 30° к горизонту, под действием которой груз равномерно перемещается на расстояние 4,0 м. Определите работу, совершенную внешней силой.

Дано: m = 12 кг, k = 300 Н/м , μ = 0,40, α = 30°, Δг=4,0 м, а=0.

Найти: А.

Решение. Под действием силы, приложенной к пружине, происходит движение тела и упругая деформация пружины, поэтому искомая работа

Задача сводится к нахождению силы, совершающей работу, и абсолютного удлинения х.

На брусок действует сила упругости пружины F_ynp, численно равная силе F, приложенной к пружине, сила тяжести mg, сила трения F_TP и сила нормальной реакции опоры N_p.

Основное уравнение динамики при равномерном движении:

в проекции на оси Ох и Оу:

Учитывая, что

F_TP = μN_p

из этих уравнений находим силу:

По закону Гука

F=kx

Поэтому

Подставляя значения F их, получаем

Задача 7

Какую минимальную работу надо совершить, чтобы однородный куб, находящийся на горизонтальной плоскости, перевернуть с одной грани на соседнюю? Масса куба 100 кг, длина его ребра 50 см.

Дано: m = 100 кг, а = 0,50 м.

Найти: А.

Решение. Будем переворачивать куб так, чтобы он не отрывался от горизонтальной плоскости и не скользил по ней. Центр тяжести куба перемещается при этом с высоты h₁ до высоты h₂.

Совершаемая работа — это работа против сил тяжести куба

Из рисунка видно, что

Следовательно,

Задача 8

Автомобиль массой 2000 кг трогается с места и движется в гору, уклон которой равен 0,020. Пройдя расстояние 100 м, он развивает скорость 32,4 км/ч. Коэффициент трения 0,050. Определите среднюю мощность, развиваемую мотором автомобиля при этом движении.

Дано: m = 2000 кг, sinα = 0,020, Δг= 100 м. v = 9,0м/с,μ = 0,050, v₀ = 0.

Найти: <N> .

Решение. Искомая мощность

<N> = F<v>,

где F — сила тяги автомобиля.

Средняя скорость движения автомобиля:

Запишем основное уравнение динамики

В проекции на оси Ох и Оу:

Учитывая, что

F_Tp = μN_p

из этих уравнений найдем

где

Ускорение при равноускоренном движении

следовательно,

Задача 9.

Определите мощность двигателя, приводящего в движение транспортер, который за сутки поднимает 2,0 • 10⁶ т железной руды с поверхности Земли на высоту 5,0 м, если КПД транспортера равен 63 %.

Дано: t= 86400 с, m = 2,0 • 10⁹ кг, h = 5,0 м, η = 0,63.

Найти: N.

Решение. По определению

где N — затраченная мощность,

N_n — полезная мощность, т.е. мощность, потребляемая непосредственно для поднятия груза:

где A = mgh — работа, совершенная против силы тяжести груза.

Следовательно,

Задача 10.

Тело брошено вертикально вверх со скоростью 16 м/с. На какой высоте кинетическая энергия тела равна его потенциальной энергии? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано: v₀ =16м/с, W_k=W_n

Найти: h.

Решение. Система "тело—Земля" является замкнутой.

Следовательно, полная механическая энергия сохраняется. За нулевой уровень потенциальной энергии принимаем уровень, с которого было брошено тело.

В состоянии 1 полная механическая энергия

в состоянии 2 она составляет

По закону сохранения энергии

По условию

Следовательно,

Задача 11.

Человек стоит на неподвижной тележке и бросает горизонтально камень массой 8 кг со скоростью 5 м/с. Определите, какую работу совершает человек, если его масса вместе с тележкой 160 кг.

Дано. m₁=8 кг, v₁=5 м/с, m₂=160кг

Найти: А.

Решение. Работа, совершенная человеком в момент броска, равна изменению механической энергии системы «человек с тележкой – камень»

A=ΔW

Так как камень и человек в момент, непосредственно предшествующий броску, покоились, то

Где - скорость тележки с человеком в момент непосредственно после броска

По закону сохранения импульса

Следовательно,

Задача 12

Цирковой артист массой 60 кг прыгает с высоты 10 м на растянутую сетку. С какой средней силой он давит на сетку, если она прогибается на 1,0 м?

Дано: m = 60 кг, h = 10 м, х = 1,0 м.

Найти: <F>

Решение. Система "артист—Земля—сетка" является замкнутой. Следовательно, выполняется закон сохранения энергии.

Полная механическая энергия системы в состоянии 1 составляет

в состоянии 2

На основании закона сохранения энергии

ВВЕДЕНИЕ 4

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ 6

1. Импульс тела 6

2. Закон сохранения импульса 7

3. Реактивное движение 9

4. Механическая работа 12

5. Работа силы тяжести 15

6. Работа силы упругости 16

7. Работа силы трения 17

8. Мощность 18

9. Механическая энергия 20

10. Кинетическая энергия 20

11. Потенциальная энергия тела при гравитационном взаимодействии 22

12. Потенциальная энергия упруго деформированного тела 23

13. Закон сохранения энергии в механике 24

14. Изменение механической энергии в незамкнутой системе 25

15. Закон сохранения и превращения энергии 26

16. Упругие и неупругие соударения тел 26

17. Простейшие механизмы 27

18. Равенство работ при использовании простых механизмов 32

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ 35

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 38

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 54

ПРИЛОЖЕНИЕ 60

Тест 60

Домашняя контрольная работа 64

Так как по закону Гука сила упругости пропорциональна величинедеформации, то

По третьему закону Ньютона искомая сила<F> = <F_ynp> . Следовательно,

Задача 13

Камень массой 50 г, брошенный под углом к горизонту с высоты20 м над поверхностью Земли со скоростью 18 м/с, упал на Землю со скоростью 24 м/с. Найдите работу по преодолению сил сопротивления воздуха.

Дано: m = 0,050 кг, h = 20 м, v₀= 18м/с, v = 24 м/с

Найти: А.

Решение. Система "камень—Земля" — замкнутая, но между телами действует сила сопротивления воздуха. Поэтому полная механическаяэнергия не сохраняется и ΔW = А_с.

Полная механическая энергия в состоянии 1 составляет

в состоянии 2

Следовательно,