Министерство транспорта и коммуникации республики Беларусь

Департамент авиации

Минский государственный высший авиационный колледж

Кафедра естественнонаучных дисциплин

Курсовой проект

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ФИЗИКА»

НА ТЕМУ: ДОБРОТНОСТЬ ОСЦИЛЛЯТОРА И ПРОЦЕССЫ, КОТОРЫЕ ОНА ХАРАКТЕРИЗУЕТ

Выполнил: студент 1-го курса группы П06

Веко Константин Михайлович

Поверил: Кириленко А. И.

Минск - 2007

Содержание:

1. Введение понятия «добротность»………….………….……….….3-9стр.

2.Примеры решения задач…………………..………………………...10стр.

3.Порядок выполнения эксперимента…….…………………………11 стр.

4.Экспериментальная работа с наклонным маятником .…..….....12-36стр.

4.1. Графики затухания колебаний……………………………...15-24стр.

4.2. Графики спектров затухающих колебаний………………...25-28стр.

5.Вывод о проделанной работе……………….………….……………37стр.

6.Список используемой литературы………………………………….38стр.

Введение Добротность

Добротность - очень ёмкое понятие в теории колебаний. Дело в том, что любая одномерная колебательная система всегда характеризуется двумя основными параметрами: ω₀ - собственной частотой и β - коэффициентом затухания. Следует отметить, что понятие коэффициента затухания вводится при условии, что сила трения, действующая на осциллятор, пропорционально скорости F_сопр ~ rV («колебательное» трение). Если закон сопротивления другой, как, например, при колебаниях с сухим трением, то введение β затруднительно. Пусть указанные два параметра ввести можно; тогда можно ввести и их отношения ω_0/β₀ получим безразмерный параметр, который и называется добротностью. Иногда в частных исследованиях вводят величины, отличающиеся от ω_0/β на некоторый постоянный множитель. Но это ничего не меняет.

При указанных условиях уравнение колебаний имеет вид x" + 2β x' + x = 0. (1)

Здесь на осциллятор действует только собственная возвращающая сила

F_в = - x и сила трения F_т = - 2β x', x(t) - любая колеблющаяся физическая величина: смещения частицы от положения устойчивого равновесия, сила тока в колебательном контуре, смещение столбика газа в акустическом резонаторе и т.д. К сожалению, в уравнении (1) нельзя ввести добротность.

1. Решением уравнения (1) условия: > β является затухающая гармоника (рис. 1)

, (2)

где , а величина может рассматриваться как переменная во времени амплитуда. Пусть τ - время, за которое амплитуда уменьшается в е раз, т.е.

A/a = = , (3)

за это время осциллятор успевает совершить N_е колебаний

N_е = τ /Т = 1/(βТ); Т = 2π/ω.

Введем параметр

= = πN_e = , (4)

называемый добротностью. Из (4) следует, что добротность в π раз больше числа колебаний, совершаемых за такое время, что амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

2. Рассмотрим убыль энергии осциллятора при затухающих колебаниях (2). Запас механической энергии

= ( К - жесткость пружины)

Отсюда

= = , (5)

(рис. 2)

здесь Е_о - начальный запас энергии в системе. Продифференцируем (5) по времени и определим скорость убыли энергии осциллятора.

. (6)

Будем считать период колебаний Т достаточно малым, таким, что Т ~ dt, что оправдано для высокодобротных колебаний, тогда изменение энергии за период ΔЕ из (6).

; ; (7)

Таким образом, добротность осциллятора в 2π раз больше убыли его энергии за период.

3. Рассмотрим вынужденные колебания осциллятора и пусть внешняя вынуждающая сила F = F₀ cos₀ ωt будет гармонической. Тогда уравнение (1) преобразуется к виду

x" + 2β x' + x = ; (8)

где f = - амплитуда (приведенная) внешней (вынуждающей) силы, ω – её частота.

Решение уравнения (8) в виде установившихся колебаний (без учета

переходного процесса) имеет вид

х(t) = А соs (ωt + φ), (9)

A(ω) = ; (10)

tg φ = ; (11)

Функция А(ω) - амплитуда установившихся колебаний, она имеет максимум на резонансной частоте.

; (12)

На этой частоте амплитуда колебаний (резонансная) имеет значение

A(ω_p) ≈ ; (13)

Из (10) находим, что на частоте близкой к нулю A(0) = ; (14)

(рис. 3)

Таким образом, слабая внешняя сила, действующая на осциллятор с частотой ω_p (12) способна раскачать его до амплитуд тем больших, чем меньше β. Можно утверждать, что слабый сигнал, поступивший в колебательную систему, усиливается, причем коэффициент усиления, понимаемый как отношение амплитуды на резонансной частоте и на низких частотах, равен

K = = ; (15)

Таким образом, добротность указывает, во сколько раз резонансная амплитуда больше амплитуды установившихся колебаний на низких частотах.

4. Рассмотрим сдвиг фаз между вынуждающей силой и установившимися колебаниями, задаваемый формулой (11). Преобразуем ее к виду

tg φ= ; (16)

Отсюда при

ω = ; (17)

имеет

tg φ = ; ctg φ = ; (18)

Таким образом, добротность равна котангенсу сдвига фаз на некоторой частоте ω = 0,618033988ω₀ (между вынуждающей силой и установившимися колебаниями).

5. Пересечем резонансную кривую прямой, параллельной оси ω. Она, будучи проведенной на расстоянии от оси в Κ раз меньшем, чем максимальная высота всей кривой, перетечет ее в точках ω₁ и ω₂ и тем самым задаст ширину частотной полосы Δω = ω₁ - ω₂ по уровню 1/к (рис. 5).

Выразим это описание математически через (10) и (13).

; (19)

Решая уравнение (19) при заданном K мы найдем частоты ω₂ и ω_1. Выполним преобразование (19).

;

; (20)

Пренебрежем членом 4β⁴K² ввиду его малости в сравнении с другими и применим к (20) теорему Виета.

Имеем: ; (21)

; (22)

Возьмём ;

разделим это выражение на .

Имеем

; (23)

Отсюда ;

Таким образом, относительная ширина частотной полости (по уровню 1/к) Δω/ω₀ обратно пропорциональна добротности осциллятора. Чем выше добротность, тем острее резонансная кривая.

Рассмотрим процесс установления колебаний на частоте близкой к ω₀ осцилляторе, не имеющем затухания (β = 0). Свободные колебания такой осциллятор совершает на частоте ω₀

x₁ = β cos ω₀t; (24)

а вынужденные на частоте вынуждающей силы ω близкой к ω₀

x₂ = A cos ωt; (25)

Общее решение уравнения (8) учитывающее переходной процесс установления вынужденных колебаний и вынужденное колебание имеет

вид x_б = x₁ + x₂ = Acosωt + βcosω₀t _; (26)

Пусть колебания начинаются из состояния устойчивого равновесия и состояния покоя, но с ускорением вызванным внешней силой с амплитудой F₀. Таким образом

x_б (0) = 0; σ(0) = 0; a(0) = ; (27)

Найдем скорость v(t) и ускорение а(t), продифференцировав (26)

;

;

Подставив сюда начальные условия (27) и найдем амплитуды А и В (постоянные интегрирования) и получим

В = - А; ; (28)

Тогда общее решение (26) примет вид

; (29)

Это выражение представляет собой биения.

Устремим теперь частоту вынуждающей силы ω к частоте собственных колебаний осциллятора ω ₀

(30)

рис. 4

Таким образом, амплитуда колебаний при раскачке осциллятора в нашем случае происходит по линейному закону в зависимости от времени. Но раскачка заканчивается, когда амплитуда достигает значения, задаваемого формулой (13). Пусть раскачка продолжается в течение времени τ, тогда

;

отсюда ; (31)

В этом выражении частота ω₀ фиксирована. Следовательно, время установления колебаний под действием внешней гармонической силы тем больше, чем выше добротность осциллятора.