25. Проверка статистических гипотез.

Статистической гипотезой называется гипотеза о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения.

Нулевой или основной называется выдвинутая гипотеза H₀.

Конкурирующей или альтернативной называется гипотеза H₁, которая противоречит нулевой.

Статистическим критерием называется случайная величина, которая служит для проверки гипотезы H₀.

При проверке статистических гипотез возможно возникновение ошибок. Ошибка 1-го рода возникает, когда мы отвергаем правильную нулевую гипотезу. Вероятность совершить ошибку первого рода называется уровнем значимости и обозначается . Ошибка второго рода возникает, когда мы отвергаем правильную конкурирующую гипотезу_. Вероятность совершить ошибку второго рода обозначается . Величину ошибки первого и второго рода исследователь выбирает самостоятельно.

Отметим, что невозможно одновременно уменьшать ошибки первого и второго рода, так как речь идет об одних и тех же гипотезах.

Значение статистического критерия при котором H₀ принимают называется областью принятия гипотезы.

Значения критерия при которых гипотезу H₀ отвергают называется критической областью.

Точка, которая отделяет эти области называется критической.

Правосторонней называется критическая область, определяемая неравенством Левосторонней называется критическая область, определяемая неравенством Двусторонней называется критическая область, определяемая неравенствами

и Проверка статистических гипотез осуществляется следующим образом. 1. по выборке вычисляется наблюдаемое значение критерия (К_набл) 2. если К_набл попало в критическую область нулевую гипотезу H₀ отвергаюти принимают H₁, а если в область принятия гипотезы, то говорят, что нет основания отвергнуть H₀.

23. Доверительные интервалы для оценки матожидания нормального распределения при неизвестном . Пусть имеется независимая выборка (x₁, x₂,…,x_n) и пусть известно, что она взята из нормального распределения с параметрами и а.(x₁, x₂,…,x_n) ~ N(a, )

Ставиться задача построить доверительный интервал для а при заданном .Несмещенной и состоятельной оценкой мат ожидания явл средняя

_в

Можно показать, что линейная комбинация нормально-распределенных случайных величин также имеет нормальное распределение.=> имеет нормальное распределение

Вычислим вероятность заданного отклонения Пусть - неизвестна

В этом случае доверительный интервал имеет аналогичный вид, только вместо необходимо вставить ее несмещенную оценку

находят на основании распределения Стьюдента (числом) из уравнения

P(x, n-1) – плотность распределения Стьюдента с числом степеней свободы (n-1).

Доверительный интервал будет иметь вид

Замечание. Т. к. при n → ∞распределение Стьюдента быстро стремиться к нормальному, то для больших n (>100) при нахождении можно пользоваться табл ф-ции Лапласса