18.Эмпирическая функция распределения и её свойства. Также как и в теории вероятности для описания изучаемого признака строится эмпирическая функция распределения.

Эмпирической функцией распределения называется относительная частота события Х<х,

n_x-число вариант меньших x

n- объем выборки

n_x /n – относительная частота события

В теории вероятности функция распределения определяла вероятность события Х<х. На основаниитеоремы Бернулли можно утверждать

Т.о. эмпирическая функция распределения строится для оценки вида теоритической функции распределения

Свойства:

1. для любого x функция распределения

2. F(x) –неубывающая функция.

3.Если a=min{x_i}, то для любого x≤а F_n(x)=0

Если b=max{x_i}, то для любого x>b F_n(x)=1

4. Непрерывна слева.

15.Закон больших чисел. Случайная величина принимает значение, зависящие от многих причин, учесть которые не представляется возможным. Поэтому трудно предвидеть, какое значение примет она в результате опыта. Возникает вопрос, можно ли установить закономерности поведения для большого числу случайных величин. Закон больших чисел (ЗБЧ) показывает, сто средний результат при достаточно большом количестве испытаний утрачивает случайный характер и может быть предсказан с достаточно большой точностью. .Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.

Теорема Чебышева: Если X₁, X₂,…,X_n – последовательность независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одним и тем же числом С, то для любого ε >0 выполняется

Доказательство.

Введем в рассмотрение случайную величину – среднее арифметическое случайных величин

Найдем матожидание

И дисперсию

Следовательно – дисперсия конечная. Тогда к применим неравенство Чебышева

Переходя к пределу получим

А так как вероятность не может быть больше 1, то предел равен 1.

Суть закона больших чисел.Если число случайных величин неограниченно растет, то их среднее арифметическое утрачивает смысл случайной величины и стремится к постоянному числу равному среднему арифметическому их матожиданий. Следствием теоремы Чебышева является теорема Бернулли.Пусть - число появления события А в n испытаниях в схеме Бернулли, и p – вероятность появления А в одном испытании. Тогда для любого справедливо

-частота появления события.Пусть , где - число появления события А в i-ом испытании. Дисперсия любой величины равна произведению pq, так как p+q=1, то p*q не превышает ¼, и следовательно дисперсии всех величин ограничены числом c=1/4.Применим теорему Чебышева:

так как матожидание равно вероятности наступления события.

Так как равна относительной частоте появления события А (m/n)(каждая величина _{1, 2}, _n при появлении события в соответствующем испытании равна 1 и поэтому их суму равна m), то окончательно получим , что и т.д.

16. Центральная предельная теорема.Пусть - последовательность независимых случайных величин и закон распределения не известен.

ЦПТ – называется набор предположений, которые обеспечивают нормальный закон распределения для суммы этих случайных величин

Обозначим через их сумму.

Говорят, что к последовательности применима центральная предельная теорема

Частным случаем ЦПТ является интегральная теорема Муавра-Лапласса.

Теорема Муавра-Лапласа утверждает, что если речь не идет о редких событиях, то биноминальное распределение стремится к нормальному.

Сформулируем ЦПТ для одинаково распределенных случайных величин.

Пусть случ величины независимо имеют одинаковые М, D, то к этой последовательности применима ЦПТ.

Суть ЦТП

Если число случайных величин неограниченно растет, то закон распределения их сумма стремится к нормальному распределению независимо от того по какому закону распределены слагаемые.