Задача 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента системы (12) или в проекциях на оси декартовой системы координат (13).

При вычислении кинетического момента системы, вращающейся относительно оси , воспользуемся формулой (14), в которой осевой момент системы определим как сумму моментов инерции относительно оси тела 1 и расположенной на нем материальной точки .

Важно уяснить наличие двух разных этапов в движении системы (рис. 12):

на первом этапе происходит разгон системы при условии, что материальная точка относительно тела 1 остается неподвижной; здесь , т.к. моменты реакций связей, моменты сил тяжести тела 1 и материальной точки А относительно оси вращения равны нулю;

на втором этапе , когда двигатель выключается ( ), а материальная точка А начинает перемещаться относительно тела 1 по желобу за счет действия внутренних сил, кинетический момент системы относительно оси остается постоянным (закон сохранения кинетического момента (см. (16 а), (16 б)) и определяется как сумма кинетического момента тела 1 и кинетического момента

Рис. 12

материальной точки ; следует отметить, что осевой момент инерции движущейся материальной точки А, в этом случае, определяется ее положением на теле 1; изменение момента инерции точки А приводит к изменению угловой скорости вращения системы.

При вычислении моментов инерции тел рекомендуется пользоваться справочными данными, приведенными в табл. 1. Если тело составное (см. схему 9 рис. 8), то момент инерции можно определить, как сумму моментов инерции частей тела (полукруга и прямоугольника). Для вычисления масс каждой из частей тела необходимо удовлетворить двум условиям:

очевидно, что

(51)

в силу однородности тела 1 масса части пропорциональна ее площади

,

(52)

где – массы первой и второй частей тела 1;

– площади первой и второй частей тела 1

Исходные данные задачи

Дано:

• механическая система, представленная на рис. 13а);

массы тел системы:

• 

• 

геометрические характеристики тел системы:

• 

движущий момент, приводящий систему во вращательное движение

• 

закон относительного движения материальной точки

• см;

время после начала движения системы на первом этапе

• с;

время движения системы на втором этапе

• с;

Определить значения угловой скорости тела 1 в конце первого этапа и через секунд после начала движения материальной точки по телу 1:

• 

• 

Решение

1. Для определения угловой скорости вращения диска с неподвижной точкой А, которую он приобретет за время с, воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента во вращательном движении относительно вертикальной оси . Так как осевой момент инерции системы относительно оси – величина постоянная, из теоремы следует дифференциальное уравнение вращательного движения (см. (13), (14), (15) )

;

(53)

Кинетический момент системы диск-точка определим как сумму кинетического момента диска и кинетического момента материальной точки

,

(54)

где

;

(55)

Подставляя исходные данные, последовательно получаем

; .

(56)

Рис. 13

Интегрирование дифференциального уравнения (56) с учетом начального условия , позволяет получить зависимость изменения угловой скорости вращения системы во времени на первом этапе движения, вычислить угловую скорость в момент времени и рассчитать кинетический момент системы, который будет оставаться неизменным на втором этапе движения, когда материальная точка А начнет движение по телу 1:

; ,

(57)

здесь , т.к. ;

угловая скорость системы в момент времени

,

(58)

кинетический момент системы в конце этапа разгона

.

(59)

2. На втором этапе движения системы материальная точка перемещается по телу 1, изменяя свое положение относительно оси вращения. Изменение положения точки приводит к изменению осевого момента инерции . Значение в каждый момент времени определяется величиной кратчайшего расстояния точки до оси вращения . Для его определения в момент времени необходимо установить положение точки в канале АВ (рис. 13б)

.

Т.к. , то , что позволяет определить кратчайшее расстояние материальной точки до оси

.

Что бы найти кинетический момент системы в зависимости от угловой скорости вращения необходимо кроме положения точки на теле знать ее абсолютную скорость .

Скорость точки в переносном движении и равна по модулю

.

(60)

Скорость точки в относительном движении , параллельна и направлена в противоположную сторону (рис. 13б )

.

(61)

Так как в рассматриваемый момент времени направлены по одной линии и в противоположные стороны, легко находим

.

(62)

Момент количества движения точки относительно оси по определению равен

.

(63)

Кинетический момент тела 1 определяем по формуле (14) с учетом данных таблицы 1

.

(64)

Кинетический момент системы в момент времени второго этапа движения остается равным кинетическому моменту системы в начале второго этапа (см. (59))

.

(65)

Откуда находим искомую угловую скорость системы в момент времени после начала движения

.

(66)

Ответ:

Замечание. При решении задачи следует обращать внимание на направление вектора относительной скорости точки и учитывать его при вычислении кинетического момента.

Если рассматривать на втором этапе движение системы в тот момент времени, когда точка окажется в точке канала (рис. 14), что наступит в момент времени , то при вычислении кинетического момента точки в абсолютном движении относительно оси необходимо принять во внимание только составляющую скорости в проекции на направление перпендикулярное линии

.

Рис. 14