Теорема об изменении кинетической энергии
Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы имеет дифференциальную и интегральную формулировки.
Дифференциальная форма теоремы представлена формулой (17)
|
(17) |
,
дифференциал от кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на элементы системы.
Интегральная форма теоремы представлена формулой (18)
|
(18) |
,
изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на элементы системы, на соответствующих перемещениях, определяемых движением системы.
Для абсолютно
твердого тела или системы твердых тел
с недеформируемыми внутренними связями
и изменение кинетической энергии
определяется только работой внешних
сил, приложенных к системе. Формулы (17)
и (18) принимают вид
|
(17а)
(18а)
|
,
Практическое использование теоремы требует умения определять кинетическую энергию материальной точки и твердого тела, умения вычислять элементарную работу и работу на конечном перемещении.
Осевые моменты инерции тонких (плоских) твердых тел
Табл. 1
№ |
Плоское тело |
|
|
|
Плоское тело |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
0 |
|
|
|
Кинетической энергией материальной точки называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости
|
(19) |
.
Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех точек механической системы (рис.3)
|
(20) |
.
Кинетическая энергия величина скалярная и не зависит от направления скоростей. Кинетическая энергия может быть равной нулю только при условии, если все точки системы находятся в покое.
Рис. 3. К определению кинетической энергии системы материальных точек |
|
В общем случае для механической системы справедлива теорема Кёнига:
кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается и из кинетической энергии центра масс, если в нем сосредоточить всю массу системы, и кинетической энергии системы в ее движении относительно центра масс
|
(21) |
.
Кинетическая энергия твердого тела вычисляется:
при поступательном движении (рис.4а), как половина произведения массы тела на квадрат скорости центра масс (при поступательном движении скорости всех точек тела равны)
|
(22) |
;
при вращательном движении относительно неподвижной оси (рис. 4б), как половина произведения осевого момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости
|
(23) |
;
при плоском движении (рис.4в) кинетическую энергию можно вычислить по теореме Кёнига, как сумму кинетической энергии в поступательном движении тела вместе с центром масс и кинетической энергии во вращательном движении вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения
|
(24) |
.
а) |
б) |
в) |
Рис. 4. Поступательное, вращательное и плоское движения твердого тела
Работа силы на каком-либо перемещении является одной их основных характеристик, определяющих действие силы на точку или материальную систему.
Элементарную
работу силы
на элементарном перемещении
(рис.
5а) определяют следующим образом
|
(25) |
.
Элементарная
работа является скалярной величиной.
Ее знак определяется знаком проекции
силы на направление элементарного
перемещения – при
элементарная работа
,
при
элементарная работа
.
а) |
б) |
Рис. 5. К определению элементарной работы и работы силы тяжести
При использовании декартовой прямоугольной системы координат элементарная работа может быть вычислена по формуле
|
(26) |
.
Хотя по форме выражение (26) и напоминает полный дифференциал функции координат точки, в общем случае элементарная работа не является полным дифференциалом. Элементарная работа является полным дифференциалом только для специального класса сил – так называемых стационарных потенциальных сил.
Для определения
работы силы на перемещении точки из
положения
до положения
необходимо
вычислить интеграл
|
(27) |
.
Если принять во
внимание, что
,
то (27) можно записать в виде
|
(28) |
,
что особенно удобно, когда сила и скорость определяются как функции времени.
В частных случаях работа вычисляется по следующим формулам:
работа силы тяжести (пример потенциальной силы, рис. 5б)
|
(29) |
,
работа линейной силы упругости пружины (рис. 6а)
|
(30) |
,
где
- деформация пружины в начальном
положении;
- деформация пружины в конечном положении;
а) |
б) |
Рис. 6. Определение работы силы упругости и силы, вращающей тело.
работа силы, приложенной к вращающемуся относительно оси телу (рис.6б)
|
(31) |
,
если момент силы относительно оси вращения является постоянным, то
|
(32) |
,
где
- угол поворота
тела, на котором совершает работу момент
;
работа
внутренних сил абсолютно твердого
тела
|
(33) |
,
а для любой механической системы в общем случае она не равна нулю.
Задачи индивидуальных заданий и расчетно-графических работ
Задача №1
Теорема об изменении количества движения системы
|
Механическая
система, изображенная на рис.7, приводится
в движение из состояния покоя за счет
сообщения телу 2 угловой скорости
Необходимо
найти уравнение движения
|
.
и скорость
тела 1, нормальную реакцию
опорной поверхности, если движение
тела 1 по опорной поверх-
ности происходит
без трения и сопротивление среды
отсутствует. Используя зависимости
,
,
,
надлежит для момента времени
вычислить значения координаты
, скорости
и опорной реакции
.
Исходные данные представлены в табл. 2, где использованы следующие обозначения:
- масса
-го
тела;
- радиусы больших
и малых окружностей тел;
- угловая скорость
ведущего тела;
- углы, обозначенные
на схеме соединения тел системы;
- заданный момент
времени.
Во всех вариантах нити, соединяющие тела системы, считать нерастяжимыми и невесомыми. Считать, что проскальзывание между нитями и колесами отсутствует; колеса по плоскостям катятся без проскальзывания.