Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Московский государственный технологический университет «Станкин»

Егорьевский технологический институт

Теоретическая механика

Методические указания к выполнению задач

домашних заданий и расчетно-графической работы

по теме «Общие теоремы динамики»

г. Егорьевск

2007

Составители: ст.пр. Ивушкина С.В.,

доц. Козенец В.В.

Рассмотрены и одобрены на заседании кафедры технологии автоматизированного производства

Протокол № ________от___________

Заведующий кафедрой _______Е.А. Копейкин

Методические указания рассмотрены и одобрены методическим советом института.

Протокол №_______от___________

Председатель совета ______________А.Д. Семенов

Методические указания по теме «Общие теоремы динамики» курса теоретической механики содержат задачи для домашних заданий и расчетно-графических работ, которые могут быть выполнены с применением следующих теорем: теоремы об изменении количества движения системы, теоремы об изменении кинетического момента системы, теоремы об изменении кинетической энергии системы.

Методические указания включают краткие сведения из теоретической части курса, относящиеся к рассматриваемым задачам, и примеры решения предлагаемых задач, что должно помочь студенту при выполнении домашних заданий и расчетно-графической работы.

Методические указания соответствуют утвержденным программам и адресуются студентам специальностей 151001 и 220301.

Общие указания к выполнению расчетно-графических работ

Количество задач в расчетно-графической работе определяется действующей программой и решением кафедры.

Оформленная работа должна состоять из аккуратно выполненных на миллиметровке или ватмане чертежей и пояснительного текста с вычислениями, написанного на одной стороне листов формата А4. Допускается при выполнении графической части работы использование графических редакторов или вычислительных комплексов.

На титульном листе указывается номер варианта, тема расчетно-графической работы, номер группы, фамилия студента (исполнитель) и фамилия преподавателя.

В пояснительной записке приводятся условия задачи, а затем ее решение.

Проверенная и подписанная к защите работа должна быть защищена. При защите студент обязан показать знание теоретического материала и умение решать задачи по теме РГР.

Общие теоремы динамики. Силы внешние и внутренние

Материальная система – это совокупность материальных точек, движение которых взаимосвязано. Для определения движения материальных точек, входящих в состав механической системы, следует решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с неизвестными функциями одной независимой переменной (время). При этом необходимо определить постоянных интегрирования, для нахождения которых должны быть сформулированы начальных условий. Решение подобных задач оказывается трудным и громоздким, т.к. силы, как внешние, так и внутренние могут зависеть не только от времени, но и от положения материальных точек в пространстве, их скоростей и ускорений.

Решение некоторых задач динамики материальной точки и системы материальных точек существенно упрощается, если воспользоваться общими теоремами динамики:

• теоремой о движении центра масс;

• теоремой об изменении количества движения;

• теоремой об изменении момента количества движения (кинетического момента);

• теоремой об изменении кинетической энергии.

При использовании этих теорем необходимо различать силы внутренние и силы внешние. Внутренними называют силы взаимодействия между материальными точками (или телами), входящими в состав рассматриваемой системы. Внешние силы – это силы, приложенные к материальным точкам (или телам) рассматриваемой системы со стороны точек и тел, не входящих в состав системы. Внешние силы могут переходить в состав внутренних сил и, наоборот, внутренние силы могут переходить в разряд внешних при изменении состава системы.

На рис. 1 изображена материальная система, состоящая из двух тел с массами , соединенных невесомым жестким стержнем . Система движется вправо по негладкой горизонтальной плоскости.

Земля и горизонтальная плоскость не входят с в состав рассматриваемой системы, поэтому, кроме силы , внешними силами являются силы тяжести тел системы , нормальные составляющие реакций горизонтальной плоскости и касательные составляющие реакций опорной плоскости – силы трения скольжения . Равнодействующую всех внешних сил, приложенных к точке системы, принято обозначать .

Тела системы взаимодействуют друг с другом с помощью невесомого стержня . Силы этого взаимодействия равны между собой и противоположно направлены (третий закон Ньютона). Эти силы являются силами внутренними. Равнодействующую всех внутренних сил, приложенных к точке системы, принято обозначать .

Рис.1 Силы, действующие на элементы системы

Внутренние силы механической системы обладают следующими свойствами:

• сумма всех внутренних сил системы равна нулю

  (1)

• сумма моментов всех внутренних сил системы относительно произвольного центра равна нулю

(2)

Использование общих теорем динамики и деление сил на внешние и внутренние дает определенные преимущества при решении некоторых типов задач.

Содержание общих теорем динамики

Теорема о движении центра масс

Центр масс материальной системы движется как материальная точка, масса которой равна массе материальной системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему

(3)

или в проекциях на оси декартовых координат

(4)

здесь

- масса k-ой точки материальной системы;

- масса материальной системы;

- ускорение центра масс системы;

рис. 2. К определению центра масс системы материальных точек

Центр масс материальной системы (рис. 2), как одна из характеристик пространственного размещения масс ее составляющих, есть геометрическая точка, положение которой определяется вектором

,

(5)

где

- радиус вектор, определяющий положение точки системы массой ;

- радиус вектор, определяющий положение центра масс системы – точки .

Как это следует из формулы (3), движение центра масс материальной системы зависит только от внешних сил, приложенных к системе. Внутренние силы, которые отсутствуют в формулировке теоремы, непосредственно на движение центра масс не влияют. Это обстоятельство значительно облегчает решение задач, так как внутренние силы системы большей частью бывают неизвестны.

Теорема об изменении главного вектора количества движения

материальной системы

Теорема об изменении главного вектора количества движения материальной системы имеет дифференциальную и интегральную формы записи.

В дифференциальной форме записи теорема читается так:

производная по времени от вектора количества движения системы равна векторной сумме проекций всех внешних сил, действующих на систему

,

(6)

где

• - главный вектор количеств движения системы;

• - количество движения точки материальной системы;

• - масса системы;

• - вектор скорости точки материальной системы.

или в проекциях на оси декартовых координат

(7)

Интегральная форма записи теоремы:

изменение количества движения системы за какое-либо время равно векторной сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему за то же время

(8)

или в проекциях на оси декартовых координат

(9)

где

• - импульс внешней силы, действующей на точку системы за время от до ;

• - проекция импульса внешней силы, действующей на точку системы за время от до , на ось ;

Внутренние силы системы не входят явно в теорему об изменении количества движения системы в любой из форм и, следовательно, не влияют непосредственно на изменение количества движения системы.

Из теоремы об изменении количества движения, следуют законы сохранения количества движения или проекции количества движения на ось:

если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то количество движения системы постоянно по величине и направлению

или

(10)

если проекция главного вектора внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения на ту же ось является величиной постоянной

(11)

Замечание. В неизолированной механической системе внутренние силы, вызывая движение отдельных частей системы вследствие взаимодействия с внешними телами или окружающей материальной средой, могут вызвать внешние силы в виде реакций связей или изменить величину активных сил, что может изменить количество движения системы. Количество движения системы может зависеть от внутренних сил только неявно, через внешние силы.

Теорема об изменении главного момента количеств движения

материальной системы

В абсолютном движении теорема имеет следующую формулировку:

производная по времени главного момента количеств движения материальной системы относительно неподвижного центра равна векторной сумме моментов внешних сил, приложенных к системе , относительно того же центра

.

(12)

Здесь

• - главный момент количества движения материальной системы относительно центра ;

• - момент количества движения (кинетический момент) материальной точки относительно центра ;

• - момент внешней силы относительно центра .

В проекциях на оси декартовых координат теорема записывается следующим образом

.

(13)

Теорему об изменении главного момента количества движения материальной системы можно применять для решения как прямой, так и обратной задачи динамики. Удобно ее применение и при рассмотрении движения тел, вращающихся вокруг неподвижной оси. Если неподвижной является ось , то проекция кинетического момента на эту ось равна

,

(14)

где

• - осевой момент инерции тела, вращающегося относительно ;

• - угловая скорость вращения,

тогда из третьего равенства (12) следует дифференциальное уравнение вращательного движения

.

(15)

При вычислении осевого момента инерции вращающегося тела можно воспользоваться справочной информацией из табл. 1 и теоремой Штейнера-Гюйгенса для вычисления момента инерции при переходе от оси проходящей через центр масс системы к параллельной оси, не проходящей через центр масс

,

(16)

где

- масса тела;

- кратчайшее расстояние между осями.

Из теоремы об изменении кинетического момента, следуют законы сохранения кинетического момента или кинетического момента в проекции на ось:

если сумма моментов внешних сил, приложенных к системе, относительно заданного центра равна нулю, то вектор кинетического момента системы относительно того же центра не изменяется ни по величине, ни по направлению

или

(16 а)

если сумма моментов внешних сил, приложенных к системе, относительно выбранной оси равна нулю, то кинетический момент системы относительно той же оси не изменяется по величине

(16 б)