1.2 Уравнения пьезоэффекта
В тензорной форме уравнение прямого пьезоэффекта (ППЭ) кристалла имеет вид
(1)
где
– компоненты вектора пьезоэлектрической
поляризации
;
– компоненты тензора (второго ранга)
механических напряжений;
– компоненты тензора (третьего ранга)
пьезомодулей, характеризующих
пьезоэлектрические свойства кристалла.
Здесь и далее суммирование осуществляется по индексам, повторяющихся дважды.
В
самом общем случае в кристалле наиболее
низкой симметрии тензор пьезомодулей
может содержать 27 отличных от нуля
компонент, однако не все из них независимые.
Ввиду симметричности тензора механических
напряжений
,
он содержит только 6 независимых
компонент. Из этого в соответствии с
выражением (1) следует симметричность
тензора пьезомодулей по двум последним
индексам
(2)
Следовательно в самом общем случае число независимых компонент этого тензора 18. В этом случае можно использовать более удобную матричную форму записи, при которой последние два индекса заменяются по следующей схеме
jk — тензорные обозначения 11 22 33 23 32 31 13 12 21,
m — матричные обозначения 1 2 3 4 4 5 5 6 6,
Пьезомодули по первому индексу не свертываются. Поэтому свертку производим по двум последним индексам и вводим обозначения
(3)
Тогда основное уравнение ППЭ запишем в более простом виде
(4)
Уравнение
ППЭ можно выразить и через относительную
деформацию
,
если эта деформация вызвана приложенными
напряжениями, и компонентами тензора
деформации, связанные с напряжением
законом Гука
где
– компоненты тензора деформации
(четвертого ранга) упругой податливости
кристалла.
Тогда уравнение ППЭ примет вид
,(5)
где
– компоненты пьезоэлектрического
коэффициента третьего ранга, также как
и
.
Он также характеризуется пьезоэлектрическими
свойствами кристалла.
Однако
величина
не тождественна
.
Между величинами
и
существует связь, определяемая
механическими свойствами кристалла.
ППЭ можно характеризовать не только
через поляризацию
,
но и через вектор напряженности
электрического поля
(6)
(7)
В
(6) и (7)
и
– пьезоэлектрические коэффициенты
кристалла, связанные между собой, а
также с коэффициентами
и
через упругие и диэлектрические
постоянные.
Основное уравнение обратного пьезоэффекта (ОПЭ) имеет вид
(8)
Величина
– это компоненты тензора третьего ранга
идентичного тензору пьезомодулей,
входящих в основное уравнение пьезоэффекта
(1). Физика ОПЭ состоит в том, что под
действием внешнего однородного
электрического поля
кристаллическая решетка кристалла
переходит в новое равновесное состояние.
Состояние, являющееся равновесным для
решетки при данной температуре в
отсутствии поля (
)
перестает быть равновесным при
.
В результате решение в зависимости от
и
деформируется, то есть (
)
согласно (8) и переходит в новое равновесное
состояние
.
Пользуясь
правилом "девятки" можно записать
уравнение (8) в свернутом (по индексам
)
виде
.(9)
Если
кристалл, к которому приложено
электрическое поле, механически зажат
и переход в новое равновесное состояние
(с
)
не возможен, то уравнение ОПЭ выразится
следующим образом
.(10)
При
этом коэффициент
идентичны компонентам тензора
пьезокоэффициентов уравнения (5).
Механические деформации или напряжения в ОПЭ можно выразить через компоненты вектора поляризации
(11)
(12)
Здесь
коэффициенты
и
такие же тензор, что и в уравнениях (6) и
(7). В матричной форме уравнения (10) –
(12) принимают вид
(13)
(14)
(15)
где
,
.