Парабола.

Каноническое уравнение параболы.

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через р (р > 0) .

Д ля вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (рис. 10). В выбранной системе фокус F имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид или .

Пусть - произвольная точка параболы. Соединим точку М с F. Проведем отрезок МN перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF = MN. По формуле расстояния между двумя точками находим:

, а .

Следовательно,

.

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

,

т. е.

. (13)

Уравнение (13) называется каноническим уравнением параболы. Парабола есть линия второго порядка.

Исследование форм параболы по ее уравнению.

1. В уравнении (13) переменная у входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью симметрии параболы.

2. Так как р > 0, то из (13) следует, что . Следовательно, парабола рас­положена справа от оси .

3 . При х = 0 имеем у = 0. Следовательно, парабола проходит через начало координат.

4. При неограниченном возрастании х модуль у также неограниченно возрастает. Парабола имеет вид (форму), изображенный на рисунке 11. Точка О(0; 0) называется вершиной параболы, отрезок FM = r называется фокальным радиусом точки М.

У равнения , , (р > 0) также определяют параболы, они изображены на рисунке 12.

У

Рис.15

Уравнение

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помо­щью единого уравнения вида

(14)

где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.

Теорема 2. Уравнение (14) всегда определяет: либо окружность (при А = С), либо эллипс (при АС > 0), либо гиперболу (при АС < 0), либо параболу (при АС = 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Аналитическая геометрия в пространстве.

§1. Уравнения поверхности и линии в пространстве.

1. Основные понятия.

Поверхность и ее уравнение.

Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. На­пример, сфера радиуса с центром в точке есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки на расстоянии .

Прямоугольная система координат в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками простран­ства и тройками, чисел , и - их координатами. Свойство, общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего ко­ординаты всех точек поверхности.

Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе координат называется такое уравнение с тремя переменными , и , которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. Переменные , и в уравнении поверхности называются текущими координатами точек поверхности.

Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для того, чтобы узнать, лежит ли точка на данной поверхности, достаточно подставить координаты точки в уравнение поверхности вместо переменных: если эти координаты удовлетворяют уравнению, то точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют - не лежит.

Уравнение сферы.

Найдем уравнение сферы радиуса с центром в точке . Согласно определению сферы расстояние любой ее точки от центра равно радиусу , т. е. . Но , где . Следовательно,

,

или

.

Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты лю­бой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.

Если центр сферы совпадает с началом координат, то уравнение сферы принимает вид .

Если же дано уравнение вида , то оно, вообще говоря, определяет в пространстве некоторую поверхность.

Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях уравнение может определять не поверхность, а точку, линию или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говорят, «поверхность вырождается».

Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:

1. Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти уравнение этой поверхности.

2. Дано уравнение . Исследовать форму поверхности, определяемой этим уравнением.

Уравнения линии в пространстве.

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей или как геометрическое место точек, об­щих двум поверхностям.

Если и - уравнения двух поверхностей, определяющих линию , то координаты точек этой линии удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:

(1)

Уравнения системы (1) называются уравнениями линии в пространстве.

Линию в пространстве можно рассматривать как траекторию движе­ния точки. В этом случае ее задают векторным уравнением

. (2)

или параметрическими уравнениями

проекций вектора (2) на оси коорди­нат.