Признак Даламбера

В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера (1717 – 1783, французский математик) позволяет часто решать вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самими рядами.

Теорема 1.5 (признак Даламбера). Пусть дан ряд (1.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел

.

Тогда:

1. при ряд сходится;

2. при ряд расходится.

При признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда. В этом случае сходимость ряда исследуется с помощью других признаков.

Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражения вида или .

Пример 1.8. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим признак Даламбера:

, .

Находим

.

Так как , то данный ряд по признаку Даламбера сходится. 

Пример 1.9. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим признак Даламбера:

, .

Находим

.

Так как , то данный ряд по признаку Даламбера расходится.



Радикальный признак Коши

Иногда удобно пользоваться радикальным признаком Коши для исследования сходимости числового ряда с положительными членами. Этот признак во многом схож с признаком Даламбера.

Теорема 1.6 (радикальный признак Коши). Пусть дан ряд (1.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел

.

Тогда:

1. при ряд сходится;

2. при ряд расходится.

При радикальный признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда. В этом случае сходимость ряда исследуется с помощью других признаков.

Пример 1.10. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как

,

то применим радикальный признак Коши к ряду .

.

Ряд сходится, а значит, сходится и исходный ряд, согласно свойству 1 числовых рядов. 

Интегральный признак Коши

Теорема 1.7 (интегральный признак Коши). Пусть дан ряд

,

члены которого являются значениями непрерывной положительной функции при целых значениях аргумента :

,

и пусть монотонно убывает на промежутке . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если несобственный интеграл расходится.

Надо отметить, что вместо интеграла можно брать интеграл , где . Отбрасывание первых членов ряда, как известно, не влияет на сходимость (расходимость) ряда.

Пример 1.11. Исследовать на сходимость ряд

, (1.10)

где  действительное число, ряд называется обобщенным гармоническим рядом или рядом Дирихле.

Решение. Рассмотрим функцию , которая непрерывна и монотонно убывает на промежутке , при . Воспользуемся интегральным признаком Коши и исследуем на сходимость несобственный интеграл .

При имеем

.

При получаем гармонический ряд , который расходится.

Таким образом, при ряд Дирихле расходится, а при ряд Дирихле сходится.



Пример 1.12. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Воспользуемся интегральным признаком Коши. Рассмотрим функцию , которая непрерывна и монотонно убывает на промежутке . Находим

.

Поскольку несобственный интеграл расходится, то и исходный ряд расходится.



Пример 1.13. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Воспользуемся интегральным признаком Коши. Рассмотрим функцию , которая непрерывна и монотонно убывает на промежутке .

Находим

.

Поскольку несобственный интеграл сходится, то и исходный ряд сходится.

