4.3. Разложение в ряд Фурье -периодических функций
Выясним условия, при которых ряд Фурье функции сходится и имеет своей суммой как раз функцию .
Будем рассматривать функции , имеющие период . Такие функции называются периодическими.
Сформулируем теорему (без доказательства), представляющую достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье.
Теорема 4.1 (теорема Дирихле). Пусть периодическая функция на отрезке удовлетворяет двум условиям:
1. кусочно-непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода;
2. кусочно-монотонна, т.е. монотонная на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.
Тогда соответствующей функции ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:
в точках непрерывности функции сумма ряда совпадает с самой функцией , т.е.
;в каждой точке разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции справа и слева, т.е.
;
3. в точках
и
(на концах отрезка) сумма ряда равна
.
Таким образом, если функция удовлетворяет условиям 1 и 2 теоремы Дирихле, то на отрезке имеет место разложение (4.4), причем коэффициенты вычисляются по формулам (4.5) (4.7). Это равенство может нарушиться только в точках разрыва функции и на концах отрезка .
В силу периодичности функции и суммы ряда Фурье может быть получено указанное разложение во всей области определения функции.
Если функция с периодом на отрезке удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, то для нее имеет место разложение (4.4), где коэффициенты вычисляются по формулам (4.5) (4.7).
Надо отметить, что условиям теоремы Дирихле удовлетворяют большинство функций, встречающихся в математике и ее приложениях. Существуют функции, не удовлетворяющие условиям теоремы Дирихле, но при этом их можно разложить в ряд Фурье, т.е. теорема Дирихле дает лишь достаточное условие разложимости, но не необходимое.
Пример 4.1. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на отрезке формулой:
Решение. Построим график функции :
Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Значит, ее можно разложить в ряд Фурье.
Находим коэффициенты ряда:
.
.
Исходной функции соответствует ряд Фурье:
,
или
.
В точках разрыва первого рода
сумма ряда равна:
.
В точках
сумма ряда равна:
.
График имеет вид:
4.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
Если разлагаемая на отрезке в ряд Фурье функция является четной или нечетной, то это отражается на формулах коэффициентов Фурье (вычисление их упрощается) и на виде самого ряда (он становится так называемым неполным).
Допустим, что разлагаемая в ряд Фурье
функция
четная.
Тогда функции
будут нечетными и все коэффициенты
,
как интегралы от нечетных функций по
интервалу
,
симметричному относительно начала
координат, окажутся равными нулю. Функции
будут четными.
Итак, если функция четная, то ряд Фурье имеет вид (состоит из одних косинусов):
,
(4.8)
где
,
,
.
Допустим, что разлагаемая в ряд Фурье функция нечетная. Тогда функции будут нечетными и все коэффициенты , как интегралы от нечетных функций по интервалу , симметричному относительно начала координат, окажутся равными нулю. Функции будут четными.
Итак, если функция нечетная, то ряд Фурье имеет вид (состоит из одних синусов):
,
(4.9)
где
,
.
Ряды (4.8) и (4.9) называются неполными тригонометрическими рядами, или рядами по косинусам и по синусам соответственно.
Пример 4.2. Разложить в ряд Фурье
функцию
,
.
Решение. Построим график функции :
Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Значит, ее можно разложить в ряд Дирихле.
Функция
− нечетная. Следовательно,
.
Находим коэффициент .
.
Таким образом,
,
или
.
В точках сумма ряда равна:
.
График имеет вид:
