4.4. Задачи анализа систем управления.

Анализ систем управления состоит в изучении их общесистемных свойств, условий выполнения своих функций и достижения заданных целей. В результате анализа качественно констатируются свойства поведения системы в целом и количественно оценивается степень удовлетворения требований к процессу управления.

Анализ должен объяснять почему система с определённой структурой причинно-следственных взаимосвязей элементов с известными характеристиками имеет то или иное поведение.

Безусловными требованиями к свойствам системы являются:

• устойчивость движений системы;

• инвариантность управляемых переменных к возмущениям и ковариантных к задающим сигналам;

• грубость (робастность, параметрическая инвариантность), т.е. ограниченная чувствительность свойств системы к вариациям характеристик элементов или связей.

Основные задачи анализа систем управления, решаемыми методами теории управления:

• установление фактов устойчивости, инвариантности, робастности;

• построение характеристик и вычисление показателей качества;

• вывод об удовлетворительном или неудовлетворительном поведении системы.

4.5. Анализ устойчивости.

Устойчивость системы управления по начальным условиям (по Ляпунову) – это свойство системы.

Если система устойчива, то затухают все составляющие свободных движений, вызванных любыми ненулевыми начальными условиями.

Свойства устойчивости линейных непрерывных систем анализируются по моделям типа М_с (модель собственно системы без внешних воздействий) в любой форме их математического описания.

Рассмотрим дифференциальное уравнение линейной автономной системы n-ого порядка:

.

Возьмём преобразование Лапласа от правой и левой частей с учётом начальных условий:

– учитывает начальное условие.

Свободное движение системы описываются:

.

Форма Y_св(t) зависит от корней характеристического полинома A(p)=0:

а) если корни p_i полинома – простые, то (1),

где A’(p) – производная полинома A(p).

б) если корни p_i полинома – кратные, тогда вместо C_i в (1) появятся полиномы от переменной t

со степенями ниже кратности корня.

Исследуем влияние расположения корней характеристического полинома на комплексной плоскости на процессы Y_св(t) для 3-х случаев расположения корней.

1. Корни левые:

j y

p₁

+

t

<0

j y

p₁

+ t

p₂

Система устойчива.

2. Корни мнимые:

j y

p₁

+

t

=0

j y

p₁

t

p₂

Система нейтральна.

3. Корни правые:

j y

p₁

+

t

>0

j y

p₁

t

+

p₂

Система неустойчива.

Выводы: 1. Система устойчива, если корни полинома расположены в левой полуплоскости

комплексной плоскости, т.е. действительная часть корней меньше 0.

2. Система неустойчива, если корни полинома расположены в правой полуплоскости

комплексной плоскости, т.е. действительная часть корней больше 0.

3. Если хотя бы одна пара корней расположена на мнимой оси, то система находится на границе устойчивости.

2. Если хотя бы один корень расположен в начале координат, то система нейтральна

Необходимым и достаточным условием устойчивости является затухание экспонент, т.е. отрицательность действительной части корней.

Для асимптотической устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического полинома были расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости.

Если система не автономна, т.е. находится под внешним воздействием, то переходный процесс в системе y(t) можно представить суммой свободного и вынужденного движения:

.

Если система асимптотически устойчива, то с течением времени процессы в системе стремятся к некоторому установившемуся значению:

.

Система является устойчивой по входу, если при любом ограниченном воздействии f(t) её реакция y(t) является ограниченной. Это свойство выполняется, если:

• система асимптотически устойчива (корни левые);

• операторная передаточная функция системы W(p) физически реализуема, т.е. степень полинома числителя меньше, либо равна степени полинома знаменателя.

При определении устойчивости по характеристическому полиному вначале следует проверить выполнение необходимого условия устойчивости.

Для того чтобы все корни характеристического полинома имели отрицательные действительные части, все его коэффициенты должны быть одного знака, например «+».

Для систем 1-ого и 2-ого порядков это условие является достаточным. Для систем порядка выше 2-ого необходимо выполнение дополнительных условий.