4. Задание к выполняемой работе:

4. 1В соответствии с таблицей 2 и указаниями преподавателя вы­брать вариант исходных данных для работы.

Таблица 2 – Варианты исходных данных

№ варианта	Величина энергии электрона Е (эВ)	Величина высоты барьера U0 (эВ)	Материал
1	10	1	Ge
2	9	2	Si
3	9	3	GaAs
4	8	4	Ge
5	8	5	Si
6	10	1	GaAs
7	9	2	Ge
8	8	3	Si
9	10	4	GaAs
10	7	5	Ge
11	7	1	Si
12	7	3	GaAs

4.2

• Дать оценку размера области, в которой будут проявлять волновые свойства пылинка массой 0,001г и энергией, равной тепловому потенциалу и электрон с такой же энергией, движущиеся в вакууме; сделать соответствующие выводы о возможности наблюдения квантово-размерных эффектов для пылинки и электрона;

Согласно заданию, считая, что электрон движется в кристалле полупроводника вдоль пространственной оси х по ее на­правлению как свободная частица с энергией Е, определить:

—длину волны де Бройля ;

—волновое число;

—импульс электрона.

Затем необходимо:

—записать соответствующее варианту стационарное уравнение Шредингера;

—выписать уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х;

• вычислить вероятности нахождения электрона в точках про­странственной оси с координатами х=0 и х=1, приняв интенсивность падающей волны за 1 и построить общий график вероятности нахождения электрона вдоль оси х.

4.3 Рассмотреть задачу о прохождении электрона как волны через по­тенциальный барьер в следующей формулировке:

Электрон, имеющий полную энергию Е, движется вдоль некоторой про­странственной оси х по кристаллу полупроводника. В области х<0 электрон полностью свободен, т.е. не ис­пытывает никакого влияния со стороны возмущающего его движения потен­циала. В точке х=0 электрон попадает в область действия энергетического по­тенциала U₀ (встречает на своем пути потенциальный барьер бесконечной ши­рины).

Используя соотношения (18) и (19) необходимо для своего варианта вычислить коэффициенты отражения и прохождения и также по­строить общие графики зависимости коэффициентов при условии, что изменяется от нуля до 10. На графиках не­обходимо указать значения R и D, соответствующие заданному варианту, а также слу­чаю, когда высота барьера равна энергии микрочастицы, кроме того, указать диапа­зоны изменения , описывающие случаи высокого и низкого барьеров. Срав­нить полученные результаты с данными классической механики и сделать вы­воды о различиях и совпадениях величин R и D для классической и квантовой механик.

4.4 Для случая с низким барьером (Е> U_o) для своего варианта необходимо:

• построить одномерную энергетическую диаграмму потенциального барь­ера;

• записать амплитудные уравнения Шредингера для областей х>0 и х<0 в явном числовом виде и найти его решения в данных областях, используя условие «склейки» волновых функций в точке х=0, приняв при этом ам­плитуду падающей волны за единицу;

• вычислить квадраты модуля найденных волновых функций для областей х<0 и х>0 и построить на их основе график плотности вероятности ме­стонахождения электрона вдоль оси х;

4.5 Для случая с высоким барьером (Е< U_o) для своего варианта необходимо:

• поменять значения величин E u U₀ местами;

• построить одномерную энергетическую диаграмму потенциального барь­ера;

• записать амплитудные уравнения Шредингера для случаев х>0 и х<0 в явном числовом виде и найти его решения в данных областях;

• указать, в какой области пространства волновая функция будет суперпозицией плоских волн, а в какой - нет?

• вычислить квадраты модуля найденных волновых функций и построить график плотности вероятности местонахождения электрона вдоль оси х;

• вычислить вероятность нахождения электрона за барьером (вероятность туннелирования) в точках х = 0, х = х_d = 1/k₀ ; отметить указанные точки на графике и пояснить физический смысл величины x_d

— приняв, что высота барьера бесконечна, найти волновые функции слева и справа от барьера и построить график плотности вероятности местонахо­ждения электрона вдоль оси х для данного случая.

5 Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1. оценку размера области, в которой будут проявлять волновые свойства пылинка и электрон с движущиеся в вакууме согласно п. 4.2;

2. квантово-механические характеристики электрона в соответствии с пунк­том 4.2.

3. результаты анализа коэффициентов отражения и прохождения в задаче о взаимодействии электрона с потенциальным барьером и выводы к анали­зу в соответствии с условиями, описанными в пункте 4.3;

4. для случая низкого барьера (пункт 4.4) привести график энергетической диаграммы, одномерное стационарное уравнение Шредингера для двух областей х>0 и х<0, соотношения для условия «склейки», волновую функцию и квадрат ее модуля, график плотности вероятности местона­хождения электрона вдоль всей оси х, и выводы к полученным результатам;

5. для случая высокого барьера (пункт 4.5) привести график энергетиче­ской диаграммы, одномерное стационарное уравнение Шредингера для двух областей х>0 и х<0, соотношения для условия «склейки», волновую функцию и квадрат ее модуля, график вероятности распределения элек­трона вдоль всей оси х, вероятности туннелирования в точках х=0, х = х_d = 1/k₀

Тип	Обозначение	Величина	Размерность
Постоянная Планка приведенная	h h ћ=h/2π	6,625*10-34 4,5*10-15 1,055*10-34	Дж*с эВ*с Дж*с
Масса покоя электрона	me	9,31*10-31	кг
Заряд электрона	q	1,60218*10-19 для СИ 1 (если[Е]=эВ)	Кл шт. (безразмерная)
Постоянная Больцмана	kB	1,38086*10-23 8,62*10-5	Дж/К эВ/К
Электронвольт	1 эВ	1,60218*10-19	Дж
Произведение при температуре Т=300 К	kBT	0,0259	эВ
Тепловой потенциал При Т=300 К (270С) При Т=292 К (200С)		0,02586 0,02525	В В
Ангстрем	1 Ǻ	0,1 10-4 10-8 10-10	нм мкм см м
Нанометр	1 нм	10-9	м
Выражение		1,504	эВ*нм2