Учебник по ТОЭ
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y = g |
2 |
+ b |
2 |
= 0,62 + 0,252 = 0,65, См; |
|||||||||
|
ф |
ф |
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ток |
Iф = Yф ×Uф = 0,65 × 220 =143, A. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
А(а) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I&¢ |
|
I& |
A |
I&¢¢ |
|
|
|
|
|
+j |
|
&¢¢ |
С |
|
A |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
IС |
|
|
|
|
I&¢A |
N(n/n//) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
I&С |
|
|
&¢¢ |
I&В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
UCA |
|
|
|
& |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I В |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
В |
|
|
|
B(b) |
|
|
|
|
|
C(c) |
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U BC |
|
|
|
Рис.4.26. |
Токи Ia |
, Ib |
, Ic , показанные на векторной диаграмме (рис.4.26), |
′′ |
′′ |
′′ |
проходят в ветвях с емкостями, они опережают соответствующие фазные напряжения на углы 90° .
Активная мощность всей цепи
P = 3Pф = 3Uф Iфcos jф = 3 × 220 ×143× 0,92 » 86,8,кВт,
или
¢ |
2 |
= 3 |
× 0,6 |
× ( 220) |
2 |
» 87,1 кВт. |
P = 3Pф = 3Rф( Iф ) |
|
|
Полная мощность всей цепи
S = 3Sф = 3Uф Iф = 3 × 220 ×143,4 » 94,6, кВт.
4.2.2.2 Несимметричные нагрузки
При несимметричной нагрузке и отсутствии нейтрального провода, как было показано в примерах 6,7, искажается
симметричная звезда напряжений и возникает напряжение смещения нейтрали, на нагрузку падают разные напряжения, которые изменяются с изменением сопротивлений других фаз. Поэтому практического применения данная схема не имеет, но в отдельных
случаях ее могут использовать для получения несимметричных
81
систем напряжений трех фаз. Расчет ведется аналогично случаю обрыва нейтрали в четырехпроводной схеме ( примеры 6 и 7).
Пример 9
Указатель последовательности фаз: для трехпроводной линии с
одинаковыми напряжениями между фазами на практике бывает важно, обозначив одну из фаз А, определить, которое из напряжений
двух других фаз отстает от фазы А и должно быть обозначено фазой В, а которое опережает фазу А и должно быть обозначено фазой С.
Для этой цели применяют схему, показанную на рис.4.27, где
Z a = − jX c ; Z b = Z c = R |
- сопротивление ламп. Пусть R = Xc. Тогда по |
|||||||||||||||||||||||||||||
формуле междуузлового напряжения |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
& |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
U A |
+ |
U B |
|
+ |
|
UC |
|
|
& |
& |
|
& |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Z b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
& |
|
|
|
Z a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z c |
|
|
jU A |
+ U B |
+UC |
|
|
|
|
|
||||||
U nN |
= |
|
1 |
|
|
+ |
|
1 |
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
j + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Z a |
|
|
Z b |
|
|
|
Z c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
& |
|
& |
|
|
|
& |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
или, так как U B +UC = -U A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
& |
|
( j |
-1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j108o |
|
|
||||||||
& |
|
U A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
& |
||||||||||||
U nN |
= |
|
|
|
|
j + |
2 |
|
= ( -0,2 + j0,6 )U A |
= |
0,63e |
|
|
×U A , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
= U × e |
|
j0o |
|
,B, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
U A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
& |
=U × e |
− j120o |
= e |
|
− j120o |
& |
|
|
|
|
|
|
& |
|
||||||||||||||||
U B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
×U A = ( -0,5 |
- j0,87 ) ×U A , |
||||||||||||||||||
& |
= U × e |
+ j120o |
= e |
+ j120o |
& |
|
|
|
|
|
|
& |
|
|||||||||||||||||
UC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
×U A = ( -0,5 |
+ j0,87 ) ×U A . |
|||||||||||||||||||
Напряжение на лампе, подключенной к фазе В: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
& |
& |
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
& |
||
Ub = U B |
- U nN = ( -0,5 - j0,87 )U A - ( -0,2 + |
j0,6 )U A = |
=( -0,3 - j1,47 )U& A =1,50 × e− j102oU& A ,
ана лампе, подключенной к фазе С:
& |
& |
& |
- |
|
|
& |
- ( -0,2 |
& |
|
|
U c = UC - U nN = ( -0,5 |
j0,87 )U A |
+ j0,6 )U A = |
|
|
||||||
|
|
& |
|
× e |
j138o |
& |
|
|
|
|
= ( -0,3 + j0,27 )U A = 0,40 |
|
U A . |
|
|
|
|||||
Таким |
образом, |
|
U B »1,5 |
×U A , U C » 0,4 ×U A , |
и |
лампа, |
подключенная к фазе В, горит ярче, чем лампа, подключенная к фазе С, «указывая» тем самым на фазу В, отстающую от А на 23π . Векторная диаграмма для данного случая показана на рис.4.28.
82
|
|
|
|
|
|
+1 |
A(a) |
|
|
A |
|
а |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
XC |
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
n |
|
|
|
|
& |
|
|
В |
|
|
|
|
& |
U AB |
|
||
R |
|
R |
|
|
U A |
|
|||
|
|
|
|
UCA |
|
|
|
||
С c тускло |
ярко b |
+j |
|
& |
N |
|
|||
& |
n U nN |
|
|||||||
|
|
|
|
|
U c |
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U B |
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
UC |
|
Ub |
|
|
|
|
|
C(c) |
|
|
& |
B(b) |
|
|
|
Рис.4.27. |
|
|
|
U BC |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.4.28. |
|
|
|
|
4.2.2.3 |
Аварийные режимы |
|
|
|
|
|
|
|
|
В схеме “звезда без нейтрального провода” возможны |
два |
аварийных режима: обрыв фазного провода и короткое замыкание фазы .
Поскольку трехпроводная схема нашла применение в основном для симметричных нагрузок, то и аварийные режимы будут рассмотрены для этого случая.
Пример 10
Трехфазный трансформатор с параметрами RФ = 3 Ом и XLФ = 4 Ом включен в сеть с линейным напряжением 380 В. Как изменятся
токи и напряжения в цепи при обрыве линейного провода или при коротком замыкании фазы.
Решение
В нормальном (рабочем) режиме токи в фазах определяются аналогично примеру 1:
Z Ф = 3 + j4 = 5e j53o ,Ом;
|
|
|
|
|
j0o |
|
& |
||||||
× e , В; |
||||||
U Ф = U 0 / 3 = 380 / 3 = 220, В U А = 220 |
IФ = U Ф / ZФ = 220 / 5 = 44, A .
Токи в фазах равны 44 А и отстают от своих фазных напряжений на угол 53°.
83
1) При обрыве фазы а фазы b и с окажутся соединенными
последовательно друг другу и будут подключены к линейному
напряжению UBC. Очевидно, при этом |
U B =UC = U0 / 2 = 380 / 2 =190 , |
|||||
В, ток Ia = 0, |
а |
I B = IC = U 0 /( 2ZФ ) = 380 /( 2 × 5 ) = 38 , А, |
то |
|||
есть токи в неповрежденных фазах изменятся в ( |
|
/ 2 ) раз. |
|
|||
3 |
|
|||||
Векторная |
диаграмма |
для этого |
случая |
|
представлена |
на |
рис.4.29. При обрыве фазы а нейтральная точка n приемника
сместится на середину вектора |
& |
и векторы фазных напряжений |
|
U BC |
|||
& |
& |
|
|
U B и |
UC будут равны по модулям и про- тивоположны по |
направлению. Напряжение на поврежденной фазе а возрастет в 1,5 раза, что может быть опасно для обмотки двигателя:
|
+1 |
|
A(a) |
|
& |
& |
U AB |
UCA |
& |
|
U A |
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
I&C |
|
I&C |
|
|
|
+j |
|
|
|
UC |
& |
|
B(b) |
||
|
|
|
|
|
C(c) |
n U B |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jФ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I&B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис 4.29 |
|
|
U Ф |
= |
1 |
|
|
× (U л / 2), |
¢ |
o |
×U л , |
||||
|
|
|
|
|||||||||
cos 30o |
U Ф = cos 30 |
|
||||||||||
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
o |
|
|
|
|
|
||
U Ф |
= 2cos |
30 |
= 1,5. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
U Ф |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) При коротком замыкании фазы а нейтральная точка n |
приемника сместиться в точку А (рис.4.30) , поэтому фазные напряжения возрастут в 3 раз и станут равными линейному напряжению, то есть U B = U C = U л = = 380 ,В, а U А = 0 . Соответственно токи в фазах I B = IC = U л / ZФ = = 380 / 5 = 76, А, тоже возрастут в 3 раз. Важно понять, что, хотя U а = 0 , ток I А ¹ 0 . Его можно определить из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа, I&A = I&B + I&C .
84
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
I&С |
A(a),n |
|
|
|
|
I&A |
|
|
|
|
|
& |
|
& |
|
& |
|
U B |
|
||
I B |
|
|
|||
|
UС |
|
|
||
|
|
& |
|
& |
|
+j |
UСА |
U АB |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
B(b) |
|
C(c) |
|
|
& |
|
|
|
|
U BC |
Рис.4.30.
4.2.3 Задачи для самостоятельного решения
Задача 1
Для показанного соединения двух обмоток симметричного трехфазного генератора определить показание вольтметра, если ЕА = ЕВ
= 220 В.
Ответ: 380
В.
Задача 2
Определить активную мощность симметричного трехфазного потребителя, фазы
которого соединены по схеме “звезда”. Напряжение сети 100 В, R = 6 Ом, ХС = 8 Ом. Построить
векторную диаграмму токов и напряжений.
Ответ : 10 А ;
600 Вт .
A |
V pV |
B |
|
& |
& |
EA |
EB |
X Y
R
XС
85
Задача 3
В трехпроводную трехфазную сеть с линейным напряжением 220 В включен трехфазный симметричный потребитель, фазы которого соединены по схеме “звезда”. Активное и индуктивное сопротивления фаз потребителя: R = 3 Ом и ХL = 4 Ом,
активное и индуктивное сопротивления каждого провода питающей линии: RЛ = 3 Ом, XЛ = 4 Ом. Определить токи в линейных проводах, коэффициент мощности потребителя и активную, реактивную и полную мощность последнего.
Ответ : 12,7 А; 0,6; 1451,61 Вт, 1935,48 ВАр,
2419,35 ВА.
Задача 4
Трехфазный электродвигатель, обмотки которого соединены по схеме “звезда”, развивает механическую мощность 6 кВт. Коэффициент полезного действия двигателя 0,8, его cos ϕ = 0,85, а линейное напряжение сети 380 В. Составить эквивалентную схему двигателя и вычислить токи в линейных проводах. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.
Ответ : 13,4 А.
Задача 5
Тридцать ламп мощностью 60 Вт каждая равномерно распределены по фазам и соединены по схеме “звезда с нейтральным проводом”. Линейное напряжение сети 220 В.
Рассчитать токи и построить векторные диаграммы токов и напряжений для нормального режима работы, при перегорании
предохранителя в одной фазе и при перегорании предохранителей в двух фазах.
Ответ : 4,72 А; |
4,72 А; |
4,72 А; 0 А; 4,72 А; 4,72 А; 0 А; |
4,72 А, 4,72 А; 0 А; |
0 А; 4,72 |
А. |
Задача 6
Индукционная печь, соединенная звездой по трехпроводной схеме, от источника с линейным напряжением UЛ = 380 В потребляет активную мощность P = 56 кВт и реактивную Q = 24 кВАр. Определить активное и реактивное сопротивления фазы и
токи в схеме в нормальном режиме и при коротком замыкании одной фазы. Построить векторные диаграммы токов и напряжений для обоих случаев.
Ответ : 2,19 Ом; 0,94 Ом; 92,3 А; 159,7 А; 159,7 А; 276,2 А .
86
Задача 7
К симметричному трехфазному источнику напряжения подключена группа однофазных приемников,
соединенная по четырехпроводной схеме. Параметры приемников указаны на схеме. Определить токи в
проводах сети и построить векторную диаграмму токов и напряжений.
Ra= 40 Ом; Rb= 60 Ом; Xa= 30 Ом; Xb = 80 Ом; Xс = 60 Ом.
Ответ : 4,4 А; 2,2 А; 3,7 А; 5,09 А.
B
C
Ra
Xa
Rb |
Xc |
|
Xb |
||
|
Задача 8
К четырехпроводной сети с фазным напряжением 380 В присоединены звездой три приемника. Мощность приемника в фазе а составляет Ра=2,4 кВт и cos ϕа = 0,9; в фазе b мощность Рb = 2,0 кВт и cos ϕb = 0,87; в фазе с мощность Рс = 2,4 кВт и cos ϕc = 0,94.
Определить токи во всех проводах и построить векторную диаграмму токов и напряжений, если известно, что ϕа = ϕb = ϕc - положительные углы.
Ответ : 7,02 А , 6,05 А , 6,72 А , 0,41 А .
Задача 9
Для цепи задачи 8 определить ток в нейтральном проводе при обрыве линейного провода: фазы а и фазы b (поочередно) .
Ответ : 7,24 А; 6,25 А .
Задача 10
Для цепи задачи 7 определить напряжение на фазах приемника
при обрыве нейтрального провода.
Ответ : 353,02e j39,15° B; 64,88e j150,08° B; 417,23e j97,75° B.
87
4.3Соединение приемников трехфазных цепей треугольником
4.3.1Симметричные нагрузки
Пример 1
К трехфазной системе напряжением 380 В подключены три одинаковых приемника (RФ = 3 Ом, XLФ = 4 Ом), соединенные по схеме “треугольник“ (рис.4.31). Определить токи в фазных и линейных проводах и потребляемую мощность (активную, реактивную, полную). Построить векторную диаграмму токов и напряжений.
А |
|
|
В |
|
|
С |
I&A |
|
|
I&B |
|
I&С |
a |
|
|
|
|
I&cа |
R |
I&аb |
|
ф |
|
|
|
Хф |
c |
I&bc |
b |
Рис.4.31.
Решение
Нагрузка фаз одинакова, поэтому расчет проводится для одной фазы.
Напряжение сети - это линейное напряжение, в схеме “треугольник” Uф = Uл = 380 В.
Комплексное сопротивление фазы
|
Z |
Ф |
= R + jX |
L Ф |
= 3 + j4, Ом= 5e j53o |
, Ом, |
||||||||||||||
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
ZФ = |
|
RФ2 |
+ X L2 |
Ф |
= |
32 + 42 |
= 5, Ом, |
|
|||||||||||
|
ϕФ = arctg |
X L Ф |
= arctg |
4 |
= 53o. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Фазные токи |
|
|
RФ |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
IФ = |
U Ф |
= |
|
380 |
|
= 76,А; |
|
|
|
||||||||||
|
ZФ |
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
88 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линейные токи (только для симметричной нагрузки)
I л = 3IФ = 3 × 76 =131,6,А.
Активная мощность, потребляемая нагрузкой:
P = 3U л I лcos j = 3 × 380 ×131,6 × cos 53o = 51969,Вт » 52, кВт;
реактивная мощность
Q = 3U л Iлsin j = 3 × 380 ×131,6 × sin 53o = 69293, ВАр » 69, кВАр;
полная мощность
S = 3U л I л = 3 × 380 ×131,6 = 86616, ВА » 87, кВА.
Если сравнить потребляемую мощность данного приемника с таким же трехфазным потребителем, соединенным по схеме “звезда” (пример 1 раздел 4.2.1), то можно увидеть, что P = 3PY ; Q = 3QY
и S = 3SY.
Векторная диаграмма может быть построена в двух вариантах в зависимости от изображения системы напряжения (рис.4.32, 4.33). Предварительно выбирают масштабы тока и напряжения. Фазные токи отстают от соответствующих напряжений на угол ϕФ = 53°. Линейные токи находятся из соотношений:
I&A = I&ab - I&ca ; I&B = I&bc - I&ab ; I&C = I&ca - I&bc .
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I&C |
A(a) |
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
- I&bc |
|
|
|
|
U AB |
|
|
I&ab |
-I&ca |
|
|
||
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
I&ca |
U AB |
|
|
|
|
|
ϕф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I&C |
|
I&А |
|
|
||
|
+j |
|
|
|
I&ab - I&ca |
+j |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
& |
|
|||
& |
|
|
|
ϕф |
|
- Ibc |
& |
|
|
I& |
U BC |
|||
UCA |
|
|
|
I&А |
|
|
Ica |
I&В |
bc |
|
|
|||
|
C(c) |
|
|
|
|
|
|
|
- I&ab |
|
|
|||
|
|
& |
& |
B(b) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
& |
|
Ibc |
U BC |
|
|
& |
|
|
|
|
|
|||
|
IВ |
- I&ab |
|
|
|
|
|
UCA |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.4.32. Рис.4.33.
89
Пример 2
В трехфазную сеть напряжением 380 В, частотой f = 50 Гц
включен трехфазный асинхронный двигатель по схеме “треугольник”. Потребляемая активная мощность P = 1,44 кВт, коэффициент мощности cos ϕ = 0,85. Определить потребляемый двигателем ток, токи в обмотках двигателя, активное и индуктивное сопротивления, индуктивность катушек, полную и реактивную потребляемые мощности.
Решение
Двигатель является симметричной нагрузкой, поэтому расчет ведем на фазу.
Сеть маркируется линейным напряжением, поэтому UЛ = 380 В. При соединении по схеме “треугольник” UЛ = UФ= 380 В. Активная мощность, потребляемая нагрузкой:
P = 3U Ф IФcos ϕ,
отсюда фазный ток, протекающий в обмотках двигателя:
IФ = |
P |
= |
1440 |
=1,5, A. |
|
3U Фcos j |
3 × 380 × 0,85 |
||||
|
|
|
Потребляемые двигателем токи - линейные токи
I л = 3IФ = 3 ×1,5 = 2,6, A.
Полное сопротивление фазы обмотки двигателя
ZФ = |
U Ф |
= |
380 |
= 253,3, Ом, |
|
1,5 |
|||
|
IФ |
|
активное сопротивление
RФ = ZФcos j = 253,3 × 0,85 = 215,3, Ом,
индуктивное сопротивление
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X Ф = |
ZФ2 - RФ2 = 253,32 - 215,32 =133,4, Ом. |
|||||||||||||
Индуктивность обмотки определяется из выражения |
||||||||||||||
X L = wL = 2pfL ; |
||||||||||||||
L = |
X L |
|
= |
X L |
= |
133,4 |
= 0,42, Гн. |
|||||||
w |
|
|
|
|||||||||||
|
|
2pf |
2p × 50 |
|||||||||||
Полная потребляемая мощность |
||||||||||||||
S = 3U Ф IФ = 3 × 380 ×1,5 = 1710, ВА =1,71, кВА; |
||||||||||||||
реактивная мощность |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Q = |
|
S 2 - P2 |
= |
|
|
17102 -14402 |
= 922,2, ВАр = 0,92, кВАр. |
90