3.4 Мощность в линейных цепях синусоидального тока

В линейных цепях синусоидального тока различают три вида мощности:

• активная, измеряемая в Вт или кВт;

• реактивная, измеряемая в варах и кварах;

• полная, измеряемая в ВА и кВА.

Активная мощность - это мощность необратимого преобразования электрической энергии в другие виды энергии в резистивных элементах цепи. В источниках электрической энергия активная мощность Р рассчитывается по формулам:

(3.57)

(3.58)

где – действующее значение напряжения в ИЭЭ, В;

– действующее значение тока в ИЭЭ, А;

– комплекс действующего значения напряжения, В;

– комплексно-сопряженное значение тока, А;

– угол сдвига фаз между током и напряжением.

В резистивных элементах активная мощность определяется как по (3.57) и (3.58), так и по формуле

,

где – сопротивление резистивного элемента, Ом;

– сила тока через него, А.

В реактивных элементах реактивная мощность определяется по формулам:

Полная мощность определяется по формуле

где – комплексно-сопряженное значение тока, протекающего через соответствующий элемент, А;

– комплекс напряжения на этом элементе, В.

3.5 Переходные процессы в электрических цепях

Процессы перехода электрической цепи из одного установившегося состояния в другое называются переходными процессами. Они возникают в результате каких-либо переключений в цепи (коммутаций). Характер протекания переходных процессов зависит от параметров элементов цепи, схемы их соединения и начальных условий.

Рассмотрим, например, подключение простейшей цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора с сопротивлением R и катушки с индуктивностью L, к источнику постоянной ЭДС Е (рис. 3.8).

Рис. 3.8

Токи и напряжения в цепи установятся не сразу, т.е. будут являться функциями времени. Их называют мгновенными значениями.

Процесс в такой цепи после замыкания ключа К однозначно определяется II законом Кирхгофа, записанным для мгновенных значений, т.е. уравнением:

,

где , ,

В результате подстановки получим неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

.

Как известно, решение такого уравнения состоит из двух слагаемых:

,

где – частное решение неоднородного уравнения, которое будем называтьпринужденной составляющей. Она равна установившемуся значению тока, т.е. току, который установится в цепи после окончания переходного процесса;

–общее решение однородного уравнения (уравнения, в котором правая часть равна нулю), которое будем называть свободной составляющей.

Когда процесс в цепи установится, то в случае подключения цепи к источнику постоянной ЭДС постоянным (установившимся) будет и ток. Поэтому при i = const , получим di/dt = 0, U_L = L (di/dt) = 0. Это означает, что в установившемся режиме напряжение на индуктивности равно нулю и, следовательно, для определения составляющей i_пр можно составить расчетную модель (рис. 3.9), в которой индуктивность закорочена (выброшена и заменена сопротивлением z = 0). Поэтому расчет по этой модели дает:

Рисунок 3.9.

.

Для нахождения общего решения однородного уравнения нужно, как известно из математики, составить его характеристическое уравнение и найти его корни.

Получим:

,

откуда имеем один вещественный отрицательный корень , которому соответствует решение:

,

где A – неизвестная постоянная интегрирования дифференциального уравнения;

–так называемая постоянная времени, измеряемая в секундах;

t – текущее время от начала коммутации (от момента включения), измеряемое в секундах.

Складывая принужденную и свободную составляющие тока, получим:

. (3.59)

Осталось определить постоянную А. Она определяется из начальных условий.

Возникает естественный вопрос о том, что использовать в качестве известного начального условия. На интуитивном уровне понятно, что нужно использовать нечто такое, что было в цепи непосредственно до коммутации (момент t = 0_– ) и, что в момент непосредственно после коммутации (момент t = 0₊ ) не изменилось скачком, т.к. в полученном выражении (3.59) время t исчисляется от момента t = 0 = 0₊, т.е. от момента непосредственно после коммутации.

Для электрических цепей в качестве такой величины может служить энергия, запасенная в электрических и магнитных полях тех устройств, которые содержатся в цепи. Такой выбор обусловлен тем, что энергия полей не может меняться скачком.

Принимая во внимание, что энергия магнитного поля катушки индуктивности равна:

,

получим

, .

Отсюда и получаем

,

т. е.

(3.60)

Условие (3.60) выражает собой первый закон коммутации: ток в индуктивности не может изменяться скачком. Поэтому, кстати, при размыкании ветвей с индуктивностью между контактами выключателя в момент включения образуется искра (электрическая дуга), поддерживающая начальное значение тока.

Аналогично можно получить второй закон коммутации: напряжение на емкости не может изменяться скачком:

. (3.61)

Условия (3.60) и (3.61) называют независимыми начальными условиями, т. к. все остальные начальные условия определяются по известным независимым условиям и уравнениям Кирхгофа, составленным для цепи.

Возвращаясь к рассматриваемой задаче, устанавливаем, что цепь (рис. 3.8) содержит индуктивность. Следовательно, в качестве независимого начального условия нужно использовать значения тока в индуктивности непосредственно до коммутации. До коммутации цепь была разомкнута, следовательно:

.

В соответствии с (3.60) получаем:

.

Подстановка этого условия в (3.59) дает (t = 0):

, а т.к. , то.

Наконец, подставляя найденное значение постоянной А в (3.59), получим:

. (3.62)

По уравнению (3.62) можно построить график (рис. 3.10) переходного процесса для тока в цепи.

Рис. 3.10

Отметим, что кривая, описываемая уравнением (3.62), называется экспонентой, характерным свойством которой является то, что она теоретически бесконечно долго приближается к своему установившемуся значению . Однако практически уже при ее отклонение от установившегося значения ничтожно мало, поэтому обычно считают, что длительность переходного процесса находится в этих пределах, т.е.. А посколькузависит, как мы установили, от параметров цепи, то и длительность переходного процесса зависит от соотношения параметров цепи. Заметим также, что если к экспоненте из ее начала (при) провести касательную, то на уровне установившегося значения она отсекает отрезок длиной.

Предположим, что нам нужно установить начальное значение напряжения на индуктивности. Это начальное значение является зависимым, поэтому воспользуемся исходным уравнением, записав его для момента :

, откуда

, но,

поэтому .

В то время, как до коммутации ( цепь отключена от источника) мы имели

, т.е. .

Напряжение на индуктивности меняется в момент коммутации скачком от нуля до значения ЭДС цепи.

Нетрудно и определить , дифференцируя и умножая науравнение (3.62):

. (3.63)

График, построенный по (3.63), имеет вид, представленный на рис. 3.11. Напряжение на индуктивности имеет вид импульса. Из графика, кстати, видно, что , а.

Рис. 3.11

Рассмотренный метод расчета называется классическим. Существует много других методов, однако все они основаны на использовании тех идей и закономерностей, которые вошли в суть классического метода.

При этом очевидно, что при рассмотрении переходных процессов в сложных цепях решению подлежит система дифференциальных уравнений, составленных по законам Кирхгофа для мгновенных значений.

Рассмотрим в качестве примера составление системы уравнений для расчета переходного процесса в цепи, изображенной на рисунке 3.12, где e(t) – в общем случае произвольная ЭДС.

Рис. 3.12

С

(3.64)

(3.65)

(3.66)

(3.67)

истема уравнений имеет вид:

Поскольку в цепи протекает единый переходной процесс, то можно рассчитать процесс для какой-либо одной переменной, выразив все другие переменные через нее.

Выберем, например, в качестве исходной переменной напряжение на емкости u_с, тогда:

• по (3.67) имеем ;

• по (3.65) имеем ;

• по (3.64) получим ;

• подстановка в (3.66) дает:

(3.68)

Решение дифференциального уравнения (3.68) позволит определить u_c(t) и затем найти все остальные переменные. Поскольку (3.68) – дифференциальное уравнение 2-го порядка, то его характеристическое уравнение всегда будет иметь два корня. При этом возможны следующие варианты:

1. корни вещественные разные р₁ и р₂:

;

2. корни вещественные кратные, т.е. р₁ = р₂ = р:

;

3. корни комплексно-сопряженнные р_1,2 = δjω₀:

.

Очевидно, что при e(t) = E = const e^’(t) = 0 и тогда u_с.пр = Е, а

, . (3.69)

Для определения двух постоянных в любом из вариантов нужно знать

u_с(0) и .

Если до коммутации конденсатор не был заряжен, то

u_с(0) = u_с(0₊) = u_с(0_-) = 0.

Кроме того, i_з(0) = i_з(0₊) = i_з(0_–) =0.

По (3.65) находим:

По (3.64) находим:

По (3.67) находим:

Подставляя соответствующие выражения для u_с.св (в зависимости от вида корней характеристического уравнения) для момента времени t = 0 и найденные начальные условия в уравнения (3.69), определим неизвестные постоянные интегрирования и получим решение для u_с(t), а затем по установленным связям найдем i₁(t), i₂(t), i₃(t) и, при необходимости, .

В заключение отметим, что практически все объекты электротехники, радиотехники, электроники и системотехники работают в режиме переходных процессов, поэтому понимание их сути и подходов к анализу очень важно для современного инженера.