Глава II неопределенный интеграл § 1. Понятие неопределенного интеграла

Дадим несколько первых вводных определений, более подробное изложение которых имеется в любом учебнике математического анализа (см. список рекомендуемой литературы в конце пособия).

ИНТЕГРИРОВАНИЕ – одно из основных понятий математического анализа, обратное действию дифференцирования или вычислению производных. Так как в случае одной переменной дифференциал и производная связаны формулой df = f'dx, то вычисление дифференциала фактически сводится к вычислению производной. Действие, обратное вычислению производной, принято называть нахождением первообразной. Совокупность всех первообразных, соответствующих данной функции, и называется неопределенным интегралом. Перейдем к точным определениям. Всюду ниже под (a,b) понимается интервал, полупрямая или вся действительная ось.

Определение 1. Пусть функция f(x) задана на (a,b) и существует дифференцируемая на (a,b) функция F(x), для которой всюду на (a,b) выполняется равенство F'(x) = f(x) . Тогда функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на (a,b).

Определение 2. Совокупность всех первообразных на (a,b) для функции f(X) на (a,b) называется неопределенным интегралом от функции f(X) на (a,b) и обозначается .

В этом обозначении знак называется знаком интеграла, выражение f(x)dx – подинтегральным выражением и f(x) - подынтегральной функцией. Читается: «интеграл от эф по дх».

Оказывается, достаточно найти одну первообразную, чтобы описать всю совокупность первообразных или неопределенный интеграл. Корректность этого высказывания подтверждает нижеследующая теорема.

Теорема 1. Любые две первообразные одной и той же функции отличаются на константу.

►Действительно, пусть F₁ и F₂ - две первообразные одной функции f(x) и G = F₁ - F₂ на (a,b). Тогда из определения 1 имеем G' = 0 всюду на (a,b). Поэтому из известной теоремы Лагранжа (теорема о среднем) вытекает G(z) - G(w) = =G'(s)(z-w), где точка s лежит между произвольными точками z и w, также лежащими на (a,b). Поэтому G(z) = G(w) или F₁(z)- F₂(z) = F₁(w)- F₂(w). Следовательно, F₁(z)- F₂(z) = С – const постоянна всюду на (a,b). Что и требовалось доказать. ◄

Таким образом, = F(x) + C, где С некоторая постоянная, а F(x)- некоторая первообразная для функции f(x). Поэтому достаточно найти только одну первообразную, чтобы вычислить неопределенный интеграл.

Всегда ли существует первообразная? Или, иначе - любую ли функцию можно проинтегрировать? Конечно, не любую. Не вдаваясь в подробности, заметим лишь, что для непрерывных на отрезке функций неопределенный интеграл существует всегда. Желающих более подробно ознакомиться с вопросом существования отсылаем за справками к литературе см. [2, 17]. Тем не менее даже если и существует первообразная, она не всегда может выражаться через элементарные функции, такие как показательная, логарифмическая, синус, косинус и др. В том случае, когда первообразная выражается через основные элементарные функции, говорят, что интеграл берется в конечном виде или элементарных функциях. Часто используемым первообразным, которые не берутся в конечном виде, пришлось придумать новые названия. Например, функция

si x := называется интегральным синусом.

Все основные элементарные функции в области, где они определены, конечно, интегрируемы. Прямо из определения получаем нижеследующую таблицу интегралов. Все результаты легко проверяются дифференцированием.