2.2. Однофакторный дисперсионный анализ

Это средство реализует критерий проверки гипотезы о равенстве математиче­ских ожиданий нескольких независимых выборок, построенный на основе дис­персионного анализа. Здесь покажем применение средства Однофакторный дисперсионный анализ и опишем его выходные данные.

На рис. 6.1 показаны три выборки, имеющие нормальное распределение с математическими ожиданиями 0, 0,5 и 1 и среднеквадратическими отклонениями 1, 2 и 3 соответственно. Объемы выборок — 50, 40 и 30 значений. (Выборки сге­нерированы с помощью средства Генерация случайных чисел.) На рис. 6.1 также показано заполненное диалоговое окно Однофакторный дисперсионный анализ. Обращаем внимание, что все три выборки задаются в виде одного диапазона яче­ек. В случае, когда выборки имеют разные размеры, диапазон задается в соот­ветствии с наибольшей выборкой и неизбежно содержит пустые ячейки. Но средство правильно определяет объемы выборок. Также отметим, что в данном случае результаты анализа будут выводиться на отдельный рабочий лист с име­нем Результаты, который автоматически вставится в текущую рабочую книгу.

Рис. 6.1. Исходные данные и диалоговое окно Однофакторныи дисперсионный анализ

На рис. 6.2 показаны результаты, выводимые средством Однофакторныи дисперсионный анализ. Они представлены в виде двух таблиц, озаглавленных ИТОГИ и Дисперсионный анализ. В таблице ИТОГИ выводятся основные стати­стические характеристики выборок: в столбце Счет — объемы выборок, в столб­це Сумма — суммы выборочных значений, в столбцах Среднее и Дисперсия — соответственно выборочные средние и дисперсии.

Рис. 6.2. Результат вычислений

Значения в первых четырех столбцах таблицы Дисперсионный анализ повторя­ют значения из дисперсионной таблицы. В столбце SS приведе­ны суммы квадратов (межгрупповая, внутригрупповая и полная); в столбце df —значения степеней свободы, а в столбце MS — дисперсии, межгрупповая и внутригрупповая. В столбце F записано значение критериальной статистики, в столбце Р-Значение — значение вероятности Р(Х ≥ х), где X — случайная величина, имею­щая F-распределение с df степенями свободы. В столбце F критическое приводится критическое значение t, рассчи­танное в соответствии с заданным уровнем значимости (параметр Альфа).

Нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий всех выборок при­нимается, если выполняется неравенство F ≤ F критическое (α,k₁,k₂). В нашем примере эту гипотезу отвергать не следует.

Число степеней свободы (df) определяется как общее число наблюдений минус число связывающих их уравнений. Поэтому для среднего квадрата SS₁, являющегося несмещенной оценкой межгрупповой дисперсии, число степеней свободы k₁=m-1, так как при его расчете используются m групповых средних. А для среднего квадрата SS₂, являющегося несмещенной оценкой внутригрупповой дисперсии, число степеней свободы k₂=mn-m, ибо при ее расчете используются все mn наблюдений.

Как видно из рис. 6.2, верно тождество:

Q=Q₁+Q₂, (6.3)

где Q– общая, или полная, сумма квадратов отклонений;

Q₁–сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, или межгрупповая (факторная) сумма квадратов отклонений;

Q₂– сумма квадратов отклонений наблюдений от групповых средних, или внутригрупповая (остаточная) сумма квадратов отклонений.

В разложении (6.3) заключена основная идея дисперсионного анализа. Применительно к рассматриваемой задаче равенство (6.3) показывает, что общая вариация показателя качества, измеренная суммой Q, складывается из двух компонент — Q₁ и Q₂, характеризующих изменчивость этого показателя между партиями (Q₁) и изменчивость «внутри» партий (Q₂), характеризующих одинаковую (по условию) для всех партий вариацию под воздействием неучтенных факторов.