4.2. Упругая деформация, закон Гука

В области упругой деформации величина деформации пропорциональна напряжению (действующей силе). При  << 1 %

, (4.7)

где Е – модуль Юнга, или константа упругой жесткости, численно равен напряжению, когда  = 1 (т.е. длина удвоилась).

Значения модуля Юнга для некоторых металлов приведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

	Модуль Юнга Е, 103 кгс/мм2
	max [111]	min [100]	Поликристалл
Pb	2,8	0,7	1,4
Cu	19,6	7,0	11,2
W	50,0	40,0	40,0

Закон Гука выполняется в той области деформаций, в которой энергию взаимодействия между атомами можно апроксимировать параболой (см. рис. 4.6), а силу взаимодействия упругой силой, пропорциональной смещению х:

(4.8)

При деформации, выходящей за пределы параболы (x_y) наступает предел упругости.

Рис. 4.6. Область упругих деформаций с точки зрения энергии взаимодействия атомов

Модуль Юнга Е зависит от энергии связи атомов и может быть оценена из формы потенциальных кривых. Так как сила dF связана с напряжением , а изменение расстояния dx с деформацией , то модуль упругости данного материала может быть найден по наклону кривой Е  на равновесном расстоянии x_o = r_o. Сила связи зависит от величины энергии связи и материалы, характеризуемые глубоким и узким минимумом энергии, имеют большой модуль упругости (рис. 4.7). Малые энергии связи обусловливают небольшие величины модуля Юнга.

Рис. 4.7. Связь модуля Юнга с потенциалом взаимодействия атомов: а- сильная связь; б – слабая связь

Закон Гука для сдвиговой деформации при действии касательных (скалывающих) напряжений  имеет простой вид (рис. 4.8):

, (4.9)

где G – модуль сдвига (модуль упругости при сдвиге);

l – величина сдвига образца высотой h;

 – угол сдвига.

При малых  : tg   :

. (4.10)

Три константы упругости связаны соотношением:

. (4.11)

Рис. 4.8. Упругая сдвиговая деформация

В трехмерном случае при малых деформациях кристаллов закон Гука записывается через тензоры:

; (4.12)

, (4.13)

где S_ijkl – константа податливости кристалла,

C_ijkl – константа жесткости (упругости) кристалла,

или тензоры четвертого ранга, описываемые матрицей 9  9, т.е. имеющие 81 компонент. Так как тензоры  и  являются симметричными тензорами второго ранга (_ij = _ji, _ij = _ji), то независимых компонентов S и C будет не 81, а 36. Для кристаллов тензоры S и C также симметричны, что снижает число компонентов с 36 до 21 для тверлого тела с самой низкой триклинной симметрией.

Для высокосимметричных кубических кристаллов число компонентов сокращается до 3 (в главных осях):

С₁₁ = С₂₂ = С₃₃; С₁₂ = С₂₃ = С₃₁; С₄₄ = С₅₅ = С₆₆.

Остальные компоненты С_ij равны нулю. Для кубического кристалла матрица упругой жесткости имеет вид:

(4.14)