2.2. Структура реальных кристаллов

Пространственная решетка Браве еще не определяет расположения атомов в кристалле, а описывает лишь геометрическое расположение точек в пространстве. Для описания структуры кристалла необходимо также задать симметрию базиса, т.е. атомов, расположенных в каждой точке кристаллической решетки.

Базис – это совокупность координат атомов, расстояний между ними и углов связей для группы атомов одного узла решетки. Базис может содержать один (Na, K и др.) два (Si, C, GaAs и др.) или более атомов.

Координаты атомов определяются тремя числами u, v, w в единицах длины ребер элементарной ячейки. Числа могут быть как целыми, так и дробными. Например, для кубической примитивной решетки атом в начале координат обозначается [(0, 0, 0)]. Координаты базиса NaCl (гра-нецентрированная кубическая решетка): Na⁺ [(0, 0, 0)], Cl^–  (рис. 2.3). Координаты базиса в решетке алмаза: [(0, 0, 0)],   (рис. 2.4).

Рис. 2.3. Координаты базиса решетки NaCl: ,

Рис. 2.4. Координаты базиса решетки алмаза: ,

Оси кристалла определяются через координаты соответствующих узлов, например: [100], , <100> – так обозначается семейство соответствующих осей.

Плоскости кристалла задаются индексами Миллера: наименьшие целые числа, обратные проекциям плоскости на векторы трансляции:

h : k : l = n₁^–1 : n₂^–1 : n₃^–1 (2.2)

вычисляются через значения постоянных решетки отсекаемых отрезков: (h k l) или{h k l}. Например, (100), или {100}(рис.2.5).

Рис. 2.5. Плоскости кристалла и их индексы Миллера

Кристаллографические направления также обозначаются тремя целыми числами [h k l] или <h k l> (через косинусы углов направлений). Только в кубических решетках направления перпендикулярны соответствующим плоскостям.

Вещества с ионной и металлической связями кристаллизуются в плотноупакованные структуры: К (кубическую), ОЦК (объемноцентрированную кубическую), ГЦК (гранецентрированную кубическую). Компактность f этих решеток различна . Например, в кубе ребро равняется 2R (рис. 2.6):

(2.3)

Рис. 2.6. Оценка компактности разных решеток

В ОЦК решетке f = 0,68, а в ГЦК f = 0,74. Ковалентные полупроводники с решеткой типа алмаза имеют низкую компактность f = 0,34.

Форма и компактность решеток сильно влияют на физические свойства кристаллов. Формой определяется изотропия или анизотропия всех физических свойств, а компактностью кристалла, например, его механические и тепловые свойства. Все металлы пластичны, а полупроводники хрупки. Таким образом, симметрия и строение решетки определяют физические свойства кристаллов.

2.3. Дифракция в кристаллах

Сведения о структуре кристаллов можно получить из изучения внешней морфологии (строения) образца. С помощью оптического прибора гониометра определяют углы между плоскостями кристалла. По отражению света от поверхности образца можно определить кристаллографическую ориентацию монокристалла с известной структурой (например, Si или Ge).

Однако для исследования внутренней структуры кристалла используют различные дифракционные методы, для этого необходимо излучение, сравнимое с межатомными расстояниями (порядка 0,1 нм).

а) Электромагнитное рентгеновское излучение (оценки для  = 1 = 0,1 нм)

0,1 нм (2.4)

Для получения такой длины волны энергия ускорения электронов должна быть Е = 12 000 эВ.

Рентгеновские лучи хорошо проникают в кристалл, но не годны для исследования легких атомов (так как рассеиваются электронными оболочками, которые у легких атомов содержат малое количество электронов).

б) Ускоренные электроны как квантовые частицы:

0,1 нм (2.5)

Для получения такой длины волны потребуется ускоряющая энергия, равная Е  150 эВ; v  710⁶ м/с.

Поскольку электроны заряжены и легко поглощаются поверхностью, они хороши для исследования тонких пленок. За счет взаимодействия с заряженными ядрами обладают большой интенсивностью дифракции (в 10⁶ раз сильнее, чем дифракция рентгеновских лучей).

в) Поток нейтронов

(2.6)

Для получения излучения с длиной волны   0,1 нм необходима энергия Е  0,08 эВ; v  410³ м/с.

Нейтроны нейтральны, рассеиваются на ядрах любых атомов, в том числе на легких. Глубоко проникают в объем кристалла.

Используя любой вид излучения, можно получить дифракционную картину на трехмерной решетке, которой является кристалл.

Условие дифракции Брэгга. В 1913 г. была получена простая формула, объясняющая результаты опыта Лауэ (1912 г.). Рентгеновские лучи отражаются от межатомных плоскостей, приобретают разность хода и интерферируют (рис. 2.7). Если разность хода  равна целому числу , то наблюдается интерференционный максимум. Условие Вульфа–Брэгга:

, (2.7)

где h – целое число (h = 1, 2, ...).

Рис. 2.7. Дифракция рентгеновских лучей в кристалле

В соответствии с рис. 2.7.

(2.8)

(2.9)

Узость рентгеновского луча, обусловленная малой диафрагмой, и большой размер зерна фотоэмульсии пленки, на которой наблюдаются условия дифракции, позволяют отказаться от фокусировки.

Измерив угол максимального отражения , можно определить d для разных плоскостей, а по ним найти h k l:

. (2.10)

Для куба a = b = c:

. (2.11)