Подставляя в уравнение принятые обозначения t, вычислим выравненные уровни ряда динамики:

январь -

февраль - и т.д.

Исследования динамики социально-экономических явлений, выявление и характеристика основной тенденции развития дают основание для прогнозирования, определения будущих размеров уровня экономического явления.

Важное место в системе методов прогнозирования занимают статистические методы. Применение прогнозирования предпо­лагает, что закономерность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохранится и в прогнозируемом буду­щем, т. е. прогноз основан на экстраполяции. Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективой.

В зависимости от того, какие принципы и какие исходные данные положены в основу прогноза, можно выделить следующие элементарные методы экстраполяции, среднего абсолютного при роста, среднего темпа роста и экстраполяции на основе выравни­вания рядов по какой-либо аналитической формуле.

Прогнозирование по среднему абсолютному приросту может быть выполнено в том случае, если есть уверенность считать общую тенденцию линейной, т.е. метод основан на предположении о равномерном изменении уровня (под равномерностью понимается стабильность абсолютных приростов)

Для нахождения интересующего нас аналитического выражения тенденции на любую дату t необходимо определить средний абсо­лютный прирост и последовательно прибавить его к последнему уровню ряда столько раз, на сколько периодов экстраполируется ряд, т.е. экстраполяцию можно сделать по следующей формуле.

,

где - фактическое значение в последней п-й точке ряда;

- прогнозная оценка значения уровня в точке п+1,

- значение среднего прироста, рассчитанное для временного ряда у₁, у₂, …, у_п.

Задача 3. Ежеквартальная динамика процентной ставки банка в течение 7 кварталов представлена в табл. 5.4.5

Таблица 5.4.5

Динамика процентной ставки банка

t, квартал	1	2	3	4	5	6	7
yt ,%	17,0	16,5	15,9	15,5	14,9	14,5	13,8

Требуется

а) обосновать правомерность использования среднего прироста для получения прогнозного значения процентной ставки в 8-м квартале;

б) рассчитать прогноз процентной ставки банка в 8-м квартале, используя показатель среднего прироста. Рассчитаем цепные абсолютные приросты.

Легко заметить, что цепные абсолютные приросты примерно одинаковы. Они незначительно варьируют от -0.4 до -0,7, что свидетельствует о близости процесса развития к линейному. По­этому представляется правомерным оценить прогнозное значение с помощью среднего прироста

Прогнозирование по среднему темпу роста можно осуществлять в случае, когда есть основание считать, что общая тенденция ряда характеризуется показательной кривой. Для нахождения тен­денции в этом случае необходимо определить средний коэффици­ент роста, во возведенный в степень, соответствующую периоду экст­раполяции, т е. по формуле

,

где - прогнозная оценка значения уровня в точке п+1;

Y_n - фактическое значение в последней п-й точке ряда;

- средний темп роста, рассчитанный для ряда у₁, у₂, …, у_п (не в %-м выражении).

Задача 4. Изменение ежеквартальной динамики процентной ставки банка происходило примерно с постоянным темпом роста в течение 7 кварталов Процентная ставка банка в первом квартале равнялась 8,3%, а в 7-м квартале — 14%.

Рассчитать прогноз процентной ставки банка в 8-м квартале, используя средний темп роста .

Известно, что изменение процентной ставки банка происходи­ло примерно с постоянным темпом роста в течение 7 кварталов. Следовательно, правомерно использовать средний темп роста для расчета прогноза этого показателя. Прогноз процентной ставки банка в 8-м квартале равен:

где берем не в процентном выражении;

Наиболее распространенным методом прогнозирования является аналитическое выравнивание тренда. При этом для выхода за границы исследуемого периода достаточно продолжить значения независимой переменной времени (t) в табл.5.4.6 представлены данные об остатках вкладов населения в банках за 15 месяцев.

Таблица 5.4.6.

Остатки вкладов населения в банках (млн. руб.) на начало месяца

Номер	yt	t	yt	t	yt
1	14717	6	23342	11	40524
2	16642	7	28317	12	45416
3	18504	8	30624	13	50857
4	20376	9	33408	14	56024
5	21321	10	36505	15	59381

Для протезирования тенденции развития используем 3 модели:

линейную

параболическую

показательную

Необходимо.

1) оценить коэффициенты трендов,

2) рассчитать прогноз остатков вкладов населения в банках на один месяц вперед, т.е. на начало 16-то месяца;

3) на основе графического анализа сделать вывод о согласо­ванности трех рассмотренных моделей с исходными данными;

1. рассчитать значение критерия - средней квадратической ошибки. Выбрать лучшую модель с точки зрения указанного кри­терия.

• Для расчета коэффициентов линейного тренда воспользуемся выражениями, полученными из системы нормальных уравнений после переноса начала координат в середину ряда

В табл. 5.4.7 представлены необходимые вспомогательные вычис­ления для расчета параметров трендов.

Таблица 5.4.7. Вспомогательные вычисления

Номер месяца	yt	t	yit	t2	yit2	t4	ln yt	ln yit
1	14717	-7	-103019	49	721133	2401	9,396759	-67,1773
2	16642	-6	-99852	36	599112	12961	9,719685	-58,3181
3	18504	-5	-92520	25	462112	625	9,825742	-49,1287
4	20376	-4	-81504	16	326016	256	9,922113	-39,6885
5	21321	-3	-63963	9	191889	81	9,967448	-29,9023
6	23342	-2	-46684	4	93368	16	10,05801	-20,116
7	28317	-1	-28317	1	28317	1	10,25122	-10,1512
8	30624	0	0	0	0	0	10,32954	0
9	33408	1	33408	1	33408	1	10,41655	10,41655
10	36505	2	73010	4	146020	16	10,5032	21,01041
11	40524	3	121572	9	364716	81	10,60965	31,82895
12	45416	4	181664	16	726656	256	10,72362	42,89448
13	50857	5	254285	25	1271425	623	10,83677	54,18387
14	56024	6	336144	36	2016864	1296	10,93354	65,60121
15	59381	7	415667	49	2909669	2401	10,99173	76,94211
	49595		899891	280	9891193	9352	154,6876	28,29541

Следовательно, уравнение линейного тренда имеет вид:

Согласно этой модели оценка среднего уровня ряда при t = 0 равна 33063,9 млрд. руб., а среднемесячный прирост остатков на­селения составляет 3213,9 млрд. руб.

Для прогнозирования на базе полученной модели на одну точ­ку вперед необходимо в нее подставить соответствующее значение временного параметра, т. е. t = 8. (Если бы оценки коэффициентов модели были получены без переноса начала координат в середину ряда, то следовало бы подставить в модель значение времен­ного параметра t = 16). Прогноз равен:

• Для расчета коэффициентов параболического тренда также воспользуемся выражениями, полученными из системы нормаль­ных уравнений после переноса начала координат в середину ряда

Следовательно, уравнение параболического тренда примет вид:

Для определения прогноза показателя надо подставить в полу­ченную модель соответствующее значение временного параметра (t = 8). Прогноз равен:

• Определяем параметры тренда, описываемого показательной функцией:

Проведя потенцирование, получаем:

a = 30106,61; b = 1,11.

Следовательно, уравнение тренда примет вид:

Согласно этой модели среднемесячный темп роста остатков вкладов населения составляет 111%. В точке, принятой за начало отсчета (t = 0), значение тренда равно 30106,61 млрд. руб. Для определения прогноза остатков вклада населения в банках на один месяц вперед подставляем в полученную модель значение t = 8.

На рис. 5.4.1 и 5.4.2 изображены графики исходного временного ряда и выравненные значения уровней, полученные на основе трех трендовых моделей: линейной, параболической и показатель­ной. На рис. 5.4.1 фактические (1) и выравненные по параболе зна­чения уровней временного ряда, на рис. 5.4.2 фактические (1), вы­равненные по прямой (2) и выравненные по показательной функ­ции (3) значения уровней временного ряда. Графический анализ свидетельствует о том, что линейную модель нельзя признать аде­кватной. Полученный же на ее основе прогноз будет сильно за­нижен. Далека от реальности и модель, рассчитанная по показа­тельной функции, а прогноз будет существенно завышен. Ближе всех к фактическим данным ложатся уровни, выравненные по параболической модели, хотя прогноз может быть несколько за­вышен.

В качестве критерия выбирается средняя квадратическая ошиб­ка:

где у_i - фактическое значение ряда;

ỹ_t - выравненное значение ряда;

п - длина ряда.