Соотношение численности мужчин и женщин по возрастным группам в 1959-2001 гг. (число женщин на 1000 мужчин соответствующей возрастной группы)

Показатель	1959	1970	1979	1989	2000	2001
Все население	1298	1252	1226	1175	1159	1161
в т.ч. в возрасте, лет:
0-2	966	971	977	968	941	937
3-6	981	972	977	961	946	948
7-15	975	995	978	970	957	955
16-19	1017	972	969	949	959	961
20-29	1038	1044	970	964	962	970
30-39	1352	1368	1010	982	1004	1001
40-49	1852	1794	1091	1046	1056	1061
50-54	1972	2128	1388	1143	1110	1119
55-59	2400	2628	1906	1264	1284	1274
60 лет и старше	2281	1099	2735	2408	1975	1966

5.3 Средние величины и показатели вариации

Средней величиной называется обобщающая характеристика совокупности однородных общественных явлений по одному количественному признаку в определенных условиях места и времени.

Средняя величина обобщает данные о величине признака у отдельных единиц изучаемой совокупности и позволяет выявить характерный, типичный уровень признака для единиц этой совокупности.

Уровень признака у отдельных единиц совокупности складывается под влиянием разнообразных условий (факторов), одни из них являются общими для всех единиц, другие - различными, случайными (индивидуальными) и определяют различный уровень у отдельных единиц.

В средней величине, исчисленной на основе данных о большем числе единиц (массовых данных), колебания о величине признака, вызванные случайными причинами, погашаются и проявляется общее свойство для всей совокупности.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.

Объективность и типичность статистической средней могут быть обеспечены лишь при определенных условиях:

1. средняя должна вычисляться для качественно однородной совокупности в отношении усредняемого признака;

2. для исчисления средней должны быть использованы не единичные, а массовые данные, ибо только тогда взаимопогашаются возможные случайные отклонения.

В статистической практике применяются несколько видов средних величин: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя хронологическая. Каждая средняя может быть исчислена как простая или взвешенная (веса или частота - численность единиц совокупности, имеющих одинаковый размер того или иного усредняемого признака).

Исчисление средней величины - это определение отношения общего объема признака к численности единиц, которым присущ этот признак.

Средняя арифметическая простая:

Средняя арифметическая исчисляется как сумма отдельных значений признака х₁,х₂, x₃,..., х_n, деленная на их число n.

Если, предположим, нужно вычислить средний возраст лиц, совершивших хулиганство, суммируются возрастные показатели каждого лица и сумма делится на число единиц совокупности. Однако этот простейший и всем известный способ определения средней (если наименование средней не упоминается, это значит что речь идет о средней арифметической) применяется лишь тогда, когда каждая единица совокупности имеет различные значения изучаемого признака, т.е. его значения не повторяются В приведенном примере это значило бы, что в изучаемой совокупности всегда обнаруживаются варианты признака, одинаковы для целого ряда единиц этой совокупности. Число этих одинаковых вариантов называется весами, или частотами. В этих случая вычисляется не простая, а взвешенная средняя арифметическая. (с учетом весов конкретных вариантов признака):

,

где x— варианты и f— веса. Это и есть формула средней арифметической взвешенной.

Вычисляя средний возраст осужденных в ВК для несовершеннолетних, в которой содержатся лица 15, 16, 17 и 18 л.

Предположим, что в ВК содержится 1000 осужденных и они распределяются по возрастным группам следующим образом:

Возраст (варианты)	Число лиц (вес каждого варианта)
15 16 17 18	100 150 150 600 Всего 1000 осужденных

Действительный средний возраст изучаемой совокупности равен 17,25 года (15x100+16x150+17x150+18x600)/1000=17,25.

Средние арифметические находят самое широкое применение при анализе правонарушений, результатов деятельности по соци­альному контролю над ними, оценке работы правоохранительных органов и т.д.

В практике иногда встречается необходимость вычисления сред­ней величины не из конкретных численных значений изучаемо­го признака, а из значений признака, сгруппированных в интер­валы («от——до»)

Рассмотрим условный пример.

Сроки наказания	Число осужденных
до 1 года от 1 года до 3 лет от 3 лет до 5 лет от 5 лет до 10 лет от 10 лет до 15 лет	16 29 37 12 6 100

Определяем серединные значения интервалов: до 1 года—0,5; от 1 года до 3 лет—2; от 3 до 5 лет—4; от 5 до 10 лет—7,5; от 10 до 15 лет—12,5. Теперь определяем среднюю величину, т. е. серединные значения интервалов, умножаем на веса, после чего сумму произведений делим на сумму весов:

.

Средняя гармоническая взвешенная. Данная форма используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель. Рассмотрим расчет средней урожайности, являющейся одним из основных показателей эффективности производства в агробизнесе.

Таблица 5.3.1

Валовой сбор и урожайность подсолнечника по Центрально-Черноземному району (в хозяйствах всех категорий)

Область	Валовый сбор, тысяч тонн	Урожайность, ц/га
Белгородская Воронежская Курская Липецкая Тамбовская	97 204 0,5 16 69	16,1 9,5 4,8 10,9 7,0

Средняя урожайность любой сельскохозяйственной культуры в среднем по нескольким территориям, агрофирмам, фермерским хозяйствам и т.п. может быть определена только на основе следующего исходного со­отношения:

Общий валовой сбор мы получим простым суммированием валового сбора по областям. Данные же о посевной площади отсутствуют, но их можно получить, разделив валовой сбор по каждой области на урожай­ность. С учетом этого определим искомую среднюю, предварительно пере­ведя для сопоставимости тонны в центнеры:

Таким образом, общая посевная площадь подсолнечника по Цен­трально-Черноземному району составляла 389,3 тыс.га, а средняя урожай­ность - 9,9 ц с одного гектара.

В данном случае расчет произведен по формуле средней гармониче­ской взвешенной:

, где w_i = x_if_i

Средняя гармоническая простая

Средняя гармоническая - это отношение числа вариантов признака к сумме обратных их значений. Она исчисляется по формуле

,

где х — отдельные варианты; n—их число.

Для иллюстрации области ее применения воспользуемся упрощен­ным условным примером. Предположим, в фирме, специализирующейся на торговле по почте на основе предварительных заказов, упаковкой и от­правкой товаров занимаются два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 8 мин., второй - 14 мин. Каковы средние затраты времени на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени у ра­ботников равна?

На первый взгляд, ответ на этот вопрос заключается в осреднении индивидуальных значений затрат времени на 1 заказ, т.е. (8+14):2=11 мин. Проверим обоснованность такого подхода на примере одного часа работы. За этот час первый работник обрабатывает 7,5 заказов (60:8), второй - 4,3 заказа (60:14), что в сумме составляет 11,8 заказа. Если же заменить инди­видуальные значения их предполагаемым средним значением, то общее число обработанных обоими работниками заказов в данном случае умень­шится:

Подойдем к решению через исходное соотношение средней. Для определения средних затрат времени необходимо общие затраты времени за любой интервал (например, за час) разделить на общее число обрабо­танных за этот интервал двумя работниками заказов:

Если теперь мы заменим индивидуальные значения их средней ве­личиной, то общее количество обработанных за час заказов не изменится:

Подведем итог: средняя гармоническая не взвешенная может ис­пользоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значения w_i для еди­ниц совокупности равны (рабочий день у сотрудников одинаковый).

Средняя геометрическая

Этот вид средней вычисляется для установления средних по­казателей темпов роста рядов динамики.

Средняя геометрическая исчисляется путем извлечения корня степени п из произведений отдельных значений признака:

где — средняя геометрическая, n — число значений признака, а П — знак перемножения.

Предположим, годовые темпы роста продукции какого-либо предприятия составили в 1998 г. — 1,036; в 1999. — 1,069; в 2000г. — 1,084 и в 2001г. — 1,090. Тогда среднегодовой темп за четырехлетие

Необходимо иметь в виду, что средняя геометрическая может вычисляться лишь в том случае, когда на протяжении всего пе­риода происходит либо непрерывный рост, либо непрерывное па­дение. При пилообразном характере уровней ряда (т.е. их росте и па­дении — 1,05; 1,1; 1,15; 1,07; 1,3) средний темп роста имел бы фик­тивное значение.

В заключение отметим, что для вычисления рассмотренных вы­ше степенных средних необходимо использовать все имеющиеся зна­чения признака.

В ряде случаев можно определить среднюю величину без про­изводства вычислений, как бы визуально. Для этого используют такие средние величины, как мода и медиана.