3.4 Пример выполнения задания

3.4.1 Интегрирование по схеме Ромберга

Необходимо найти с точностью .

Возьмем и вычислим оценку интеграла по формуле трапеций:

.

Разобьем исходный интервал пополам и вычислим оценку интеграла по составной формуле трапеций. При этом вместо исходной формулы (3.3) приме­ним рекуррентную формулу (3.5):

.

Рассчитаем оценку второго порядка по рекуррентной формуле (3.6):

Занесем эти значения в таблицу (табл. 3.2) и продолжим расчеты, приме­няя (3.5) для пересчета столбца (i=1) и (3.6) для остальных столбцов:

Табл. 3.2 – Пример применения схемы Ромберга

K		i=1	i=2	i=3	i=4	i=5
0	1	1,8591409
1	2	1,7539311	1,7188612
2	4	1,7272219	1,7183188	1,7182414
3	8	1,7205186	1,7182842	1,7182792	1,7182817
4	16	1,7188411	1,7182820	1,7182817	1,7182818	1,7182818

Как видно из табл. 3.2, при и условия (2.7) выполняются. Значение интеграла (с точностью ) равно 1.718282.

3.4.2 Интегрирование по формуле Гаусса-Чебышева

Найдем тот же самый интеграл с точностью .

Прежде всего необходимо привести интервал интегрирования к стандарт­ному для этого метода интервалу [-1, 1]. Проведем замену переменной ( ). Интеграл примет вид: . Затем надо преоб­разовать подынтегральную функцию, выделив из нее весовую:

,

где

. (3.10)

Приведем пример расчета для порядка n=3. Согласно (2.9) узлы интегри­рования будут следующими: , , . Тогда, воспользовавшись (3.8) и учтя, что подынтегральная функция имеет вид (3.10), получим:

.

3.5 Индивидуальные задания

Индивидуальные задания выбираются согласно варианту (т.е. номеру бригады) из табл. 3.3. Значение принять равным .

Табл. 3.3 – Варианты индивидуальных заданий

Номер варианта	Функция	Интервал		Номер варианта	Функция	Интервал
1	cosh(x)	[-3, 3]		7		[-3, 3]
2		[0, 6]		8		[0, 3]
3		[0, 3]		9		[-3, 3]
4	sinh(x)	[-3, 3]		10	exp(x)	[0, 3]
5		[-3, 3]		11	cosh(x)	[0, 3]
6		[-3, 3]		12		[-1.5, 1.5]