3.2.2 Составные формулы интегрирования

Если разбить интервал интегрирования на M подынтервалов и при­менить к каждому из них квадратурную формулу (3.1), то получим составную формулу интегрирования. В случае, когда подынтервалы равные, составные формулы имеют следующий вид:

Составная формула прямоугольников:

, (3.2)

Составная формула трапеций:

, (3.3)

Составная формула Симпсона:

,

(3.4)

где .

3.2.3 Схема Ромберга

1. Исходный интервал разбивается на подынтервалов и приме­няется одна из составных формул интегрирования (обычно – формула трапеций (3.3)). В результате будет получена оценка .

2. Каждый из подынтервалов разбивается пополам (количество интерва­лов будет равно ) и вычисляется оценка . Для этого можно приме­нить рекуррентную формулу

. (3.5)

3. Вычисляется оценка второго порядка на интервалах ( ). При этом вместо составной формулы Симпсона (3.4) расчет можно произвести по рекуррентной формуле

. (3.6)

Частный случай этой формулы имеет вид: .

4. Полученные оценки интеграла заносятся в таблицу (табл. 3.1). Вычис­ления, описанные в пунктах 2 и 3, повторяются и таблица заполняется. Квадра­туры , находящиеся в ней, сходятся сверху вниз (по k) и слева направо (по i) к истинному значению интеграла. Условия прекращения вычислений имеют вид:

, или . (3.7)

Табл. 3.1 – Вычисления по схеме Ромберга

k		i=1	i=2	i=3	…
0			–	–	–
1				–	–
2					–
…	…	…	…	…	…

3.2.4 Формулы Гаусса

Необходимо найти интеграл . Квадратурная формула Гаусса

(3.8)

будет точна для многочленов максимально высокой степени, равной , если узлы интегрирования являются корнями многочлена (степени n), который взят из ортогональной системы многочленов относительно интер­вала с весовой функцией .

В частном случае при , , такими многочленами явля­ются многочлены Лежандра. Формула (2.8) называется в этом случае формулой Гаусса-Лежандра. Узлы и коэффициенты квадратуры (3.8) приведены в специальных таблицах.

В другом частном случае при , , такими мно­гочленами являются многочлены Чебышева. Формула (1.8) называется в этом случае формулой Гаусса-Чебышева. Узлы и коэффициенты квадратуры вычисляются по формулам:

, . (3.9)

3.3 Задание на лабораторную работу

1. Программно реализовать интегрирование по схеме Ромберга. Вычислить указанный интеграл с точностью , , . Привести в отчете таблицу, полученную в процессе решения.

2. Программно реализовать интегрирование по методу Гаусса-Чебышева. Для этого необходимо программно реализовать формулы (3.8) и (3.9). Вычис­лить указанный интеграл, используя порядки n от 1 до 10. Привести в отчете значения квадратур. Сравнить этот метод с предыдущим по точности коли­честву вычислений подынтегрируемой функции.