2.3 Задание на лабораторную работу

1. Построить интерполяционные многочлены третьей, шестой и девятой сте­пени для функции, заданной таблицей значений в равноотстоящих узлах интерполяции. Коэффициенты многочлена третьей степени необходимо получить в явном виде (и привести его затем в отчете). Коэффициенты остальных интерполяционных многочленов можно не получать в явном виде. Многочлены можно представлять в форме Лагранжа, или в одной из форм Ньютона по усмотрению студента.

2. Написать функции, реализующие вычисление значений интерполяционных многочленов и проверить их работоспособность с помощью предлагаемого графического модуля.

3. Построить интерполяционные многочлены, реализующие кубическую сплайн-интерполяцию функции, заданной таблицей значений в четырех равноотстоящих узлах интерполяции (тех же, что и для обычного интерпо­ляционного многочлена третьей степени). Коэффициенты всех интерполяци­онных многочленов необходимо получить в явном виде (и привести их затем в отчете).

4. Написать функцию (одну!), реализующую вычисление значений получен­ного сплайн-полинома и проверить ее работоспособность с помощью пред­лагаемого графического модуля.

2.4 Пример выполнения задания

2.4.1 Построение интерполяционного многочлена

Пусть функция задана в табл. 2.1. Необходимо построить интерполяцион­ный многочлен третьей степени.

Табл. 2.1 – Пример индивидуального задания

Номер варианта	Третья степень		Шестая степень		Девятая степень
	Узлы интер­поляции	Значения функции	Узлы интер­поляции	Значения функции	Узлы интер­поляции	Значения функции
0	0 2 4 6	0,0000 0,5000 0,4000 0,3000

Решение.

Интерполяционный многочлен можно построить одним из трех способов: в форме Лагранжа, Ньютона, или с равноотстоящими узлами. В примере приве­дены все три способа. Достаточно воспользоваться одним из них.

Интерполяционный многочлен Лагранжа вычисляется по формуле (2.1).

Согласно данным из табл. 2.1 получим:

(2.11)

Интерполяционный многочлен Ньютона вычисляется согласно (2.2)-(2.4).

Вычисление разделенных разностей согласно (2.4) приведено в табл. 2.2.

Табл.2.2 - Расчет коэффициентов интерполяционного многочлена Ньютона

0	0	0	0
1	2	0,5	0,5
2	4	0,4	0,4
3	6	0,3	0,3

Коэффициенты интерполяционного многочлена располагаются в пер­вой строке таблицы. Тогда согласно (2.2)-(2.3) получим:

. (2.12)

Если учитывать, что интерполяция производится в равноотстоящих узлах (с шагом ), то многочлен Ньютона можно вычислить согласно (2.5)-(2.6), что проще. Вычисление конечных разностей приведено в табл. 2.3.

Табл. 2.3 – Расчет опережающих конечных разностей

0	0	0
1	0,5	0,5
2	0,4	0,4
3	0,3	0,3

Согласно (2.5) интерполяционный многочлен будет иметь вид

, (2.13)

где

.