Расчетная часть

Задание

Электрон находится в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками и шириной l.

1. Волновая функция, описывающая состояние электрона в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками имеет вид: ψ(х)=Asin(kx). Определить:

1. Вид собственной волновой функции ψ_n(x);

2. Нормировочный коэффициент А. Написать собственную волновую функцию с полученным нормировочным коэффициентом А.

2. При заданных n:

2.1 Построить график собственной функции (интервал );

2.2 Построить график плотности вероятности обнаружения частицы в данном интервале ;

2.3 Найти собственное значение частицы. Изобразить схематически, в удобном масштабе энергерические уровни с указанием с указанием полученных значений энергии;

2.4 Найти вероятность пребывания частицы в указанной области;

2.5 Найти среднее значение координаты частицы в указанной области квантовой ямы.

3. Электрон с энергией Е проходит сквозь потенциальный барьер высотой U, определить:

3.1 Вероятность прохождения частицы сквозь потенциальный барьер;

3.2 Вероятность отражения частицы от потенциального барьера.

Дано:

I.

l =3 нм;

n = 2; 3;

II. ;

;

l = 5 нм.

Решение:

1. Определим вид собственной волновой функции:

Так как стенки ямы бесконечно высоки, то за пределами потенциальной ямы частица оказаться не может и волновая функция

и = 0.

Внутри ямы волновая функция .

Так как функция непрерывна, то

.

1.2 Определим нормировочный коэффициент а:

При n=1

Решение стационарного уравнения Шредингера представляет собой следущую волновую функцию:

В силу непрерывности волновой функции на границах должны выполняться соотношения

Отсюда получаем систему, из которой необходимо найти коэффициент k:

При n=3

;

С помощью условия нормировки, а также значения k, который был найден ранее, и волновой функции, находим нормировочный коэффициент А:

При n = 2:

.

При n = 3:

2.1 График собственной функции при n = 2

ᴪn

25819,89

-25819,89

0 1,5 3,0 *10^-9,м

Рис. 1 – График собственной функции при n = 2

При n = 3

ᴪ_n

25819,89

-25819,89

0 1,5 3,0 *10^-9,м

Рис. 2 – График собственной функции при n = 3

2.2 График плотности вероятности при n = 2

|ᴪ|²

(6,25)²

0 1,5 3,0 *10^-9,м

Рис. 3 – График плотности вероятности при n = 2

При n = 3

|ᴪ|²

(6,25)²

0 1,5 3,0 *10^-9,м

Рис. 4 – График плотности вероятности при n = 3

Найдем координату, при которой функция достигает своего максимального значения (синус достигает максимума при значении угла π/2).

При n=2

При n=3