Федеральное
агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»
Кафедра общей и технической физики
Расчетно-графическое задание
Вариант № 8
По дисциплине: Физика
(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)
Тема: «Частица в одномерной потенциальной яме бесконечной величины»
Выполнил: студент гр. АПМ-10-1 ________________ /Заргарян Г.Э,/
(подпись) (Ф.И.О.)
Проверил: доцент _________________ / Стоянова Т.В./
(подпись) (Ф.И.О.)
Санкт-Петербург
2012
Теоретическая часть Краткие теоретические сведения и формулы для расчетов
Волновая функция – функция, определяющая положение частицы в пространстве в данный момент времени. Эта функция в общем случае является комплексной величиной, она однозначна, непрерывна, ограниченна и на бесконечности стремится к нулю:
f=Ψ(x, y, z, t)
Функция ψ, удовлетворяющая уравнение Шредингера, называется собственной волновой функцией.
Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность того, что частица находится в бесконечно малом объеме dV вблизи рассматриваемой точки с координатами x, y, z. Данная величина называется плотностью вероятности и определяется следующим уравнением:
Так как вероятность найти частицу во всем пространстве равна единице, то имеет место условие нормировки, где интеграл берется по всему пространству:
Рассмотрим частицу, находящуюся в
бесконечно глубокой одномерной
потенциальной яме. Пусть частица в ней
движется вдоль оси x, а ее
движение ограничено потенциальными
стенками,
– глубина ямы.
Для решения поставленной задачи воспользуемся уравнением Шредингера для стационарных состояний:
или
Посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Ими являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Реальный физический смысл имеют лишь такие значения, которые выражаются регулярными функциями ψ. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра E, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называют собственными. Решения, которые соответсвуют собственным значениям энергии, называют собственными функциями.
Для нахождения решения уравнения Шредингера, имеющего физический смысл, необходимо выполнения следующего условия:
, (1)
тогда уравнение принимает вид
(потенциальная энергия равна нулю, если
и обращается в бесконечность при
):
.
Примем
,
(2)
тогда уравнение упрощается до вида:
.
Решение такого уравнение имеет вид:
(3)
Условие (1) будет выполняться при соответствующих значениях k и α:
,
где
;
(4)
Из условий (2) и (4) следует, что собственному значению энергии соответствует уравнение:
,
где
n – квантовое число;
m – масса электрона;
l – ширина потенциальной ямы;
- постоянная Планка;
Е – собственное значение энергии.
Квантовые значения En называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни частицы в потенциальной яме, называется квантовым числом.
Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия с частицы монотонно возрастает по мере удаления от точки, где эта энергия минимальна.
- U = 0 при 0≤х≤L
- U = ∞ при х≤0 и х≥L.
Рассмотрим движение частицы с энергией
Е в поле потенциального барьера
бесконечной ширины и высотой U.
Если E<U,
то в стационарном режиме отражается
вся энегрия падающей волны, однако при
U<E волновая
функция не равна нулю, а экспоненциально
затухает с ростом координаты х. Это
соответствует коэффициенту преломления
,
где
и
- волновые числа, соответствующие
движению частицы при E>U
и E<U.
Если U<E, то частица частично отражается, а частично проходит через барьер. Поэтому можно ввести коэффициенты отражения (R) и прохождения (D). Коэффициент отражения барьера
.
Коэффициент прохождения барьера равен отношению доли прошедшей волны к падающей:
.
Вероятность того, что частица окажется за барьером, называется коэффициентом прохождения или коэффициентом прозрачности.
Для коэффициентов отражения и прохождения выполняется соотношение R+D=1. В классическом случае (при E>U) всегда D=1 и R=0.