14. Формула Тейлора для функции одной переменной. Разложение элементарных функций по формуле Маклорена
Пусть
функция
на интервале
имеет производные до
-го
порядка включительно. Тогда справедлива
следующая формула
Тейлора разложения функции по
степеням
(
)
(14.1)
где
– остаточный
член в форме
Лагранжа,
–некоторая точка.
Формула
Тейлора (6.1) при
называется формулой
Маклорена:
,
(14.2)
где
,
.
Формула Маклорена (14.2) позволяет разложить функцию одной переменной по степеням переменной в окрестности нуля.
Пример 1. Разложить многочлен
по
формуле Тейлора в окрестности точки
.
Решение. Согласно заданию, раскладывать функцию будем по степеням
.
Все вычисления по формуле Тейлора заполняем в виде таблицы.
Общий вид функции и ее производных |
Значения функции и ее производных в точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
…,
,
,
…,
,
Замечаем, что все производные, начиная с производной пятого порядка, равны нулю. Используя данные таблицы и применяя формулу (14.1), получим
.
Разложение элементарных функций по формуле Маклорена
В данном вопросе приведем разложения по формуле Маклорена некоторых основных элементарных функций.
Пример
2. Разложим
функцию
по формуле Маклорена.
Решение.
Имеем значение
.
Вычисляем производные:
,
,
…,
,
,
,
,
…,
,
.
Применяя формулу Маклорена (4.2), получим
,
,
.
Приведем следующие формулы разложения функций по формуле Маклорена ( , остаточные члены не записываем):
,
,
,
.