7. Производная сложной функции (продолжение)

Пусть даны функции , , . Рассмотрим сложную функцию

. (7.1)

Тогда производная функции (3.1) вычисляется по следующей формуле

. (7.2)

Пример 1. Найти для функции

производную .

Решение. Имеем

, , .

Тогда применение формулы (7.2) дает

.

При использовании таблицы дифференцирования сложной функции, получим

Пример 2. Найти для функции

производную .

Решение. Имеем

, , .

Применение формулы (7.2) дает

.

Если пользоваться таблицей дифференцирования сложной функции, то получим тот же результат. Действительно,

.

Пример 3. Найти для функции

производную .

Решение. При решении пользуемся таблицей дифференцирования сложной функции

Лекция 5

8. Формула логарифмического дифференцирования

Пусть даны три функции

.

Рассмотрим вопрос об их дифференцировании. Для первой (степенной) и второй (показательной) функций применяем таблицу производных основных элементарных функций:

, .

Третья функция не является ни степенной, ни показательной (она является примером так называемой степенно-показательной функции), поэтому для ее дифференцирования нельзя применять известные нам правила дифференцирования.

Рассмотрим формулу логарифмического дифференцирования. Пусть задана некоторая функция . Прологарифмируем обе части равенства :

.

Найдем производные (по переменной ) от обеих частей последнего равенства:

,

откуда получим формулу

. (8.1)

Определение. Формула (8.1) называется формулой логарифмического дифференцирования.

Покажем, как при помощи формулы логарифмического дифференцирования найти производную функции .

Пример 1. Продифференцировать функцию .

Решение. Согласно формуле (8.1) имеем

При решении примера мы использовали известное из школьного курса математики свойство логарифма:

.

Итак,

В данном вопросе рассмотрим примеры, в которых используется формула логарифмического дифференцирования (8.1). Пусть функция имеет вид

, (8.2)

где функции зависят от переменной .

Определение. Функция вида (8.2) называется степенно-показательной.

Для дифференцирования функции (8.2) применим формулу (8.1):

. (8.3)

Формула (8.3) показывает схему, по которой необходимо находить производную степенно-показательной функции (8.2). По свойству логарифма:

,

и затем применяем правило производной произведения двух функций.

Пример 2. Найти производную для функции .

Решение. Применяем формулу (8.1):

.

Итак, производная .

Формула логарифмического дифференцирования применяется не только при дифференцировании степенно-показательных функций, но и при дифференцировании функций иного вида, в частности, при дифференцировании сложных произведений и частных. При этом используются следующие правила логарифмирования:

, , .

Пример 3. Найти производную функции .

Решение. Данную функцию можно дифференцировать, применяя правила дифференцирования (производная произведения и частного). Однако рациональнее применить формулу логарифмического дифференцирования (8.1). Сначала найдем логарифм от функции:

.

Тогда, применяя формулу (8.1), получим

Итак, производная функции имеет вид