Лекция 4
6. Производная сложной функции (основная теорема).
Таблица производных сложных функций
Пусть
даны функции
,
.
Рассмотрим сложную функцию
.
(6.1)
Теорема
(производная сложной функции).
Пусть функция
имеет в точке
конечную производную
,
функция
имеет в точке
конечную производную
,
причем
.
Тогда сложная функция (6.1) имеет в точке
конечную производную, которая вычисляется
по формуле
.
(6.2)
На практике формула (1.2) при дифференцировании сложной функции переписывается следующим образом
.
(6.3)
Формула
(6.3) называется правилом
дифференцирования сложной функции,
состоящей из двух звеньев.
Чтобы найти производную
сложной функции
необходимо найти производную
от внешней функции
по переменной
и умножить на производную
от внутренней функции
по независимой переменной
.
Если производную находим по независимой
переменной
,
то вместо
пишем
или просто
.
Пример 1. Найти для функции
производную .
Решение. В нашем случае
,
.
Производная
от внешней функции
по переменной
равна
,
производная от внутренней функции по переменной равна
.
Тогда применяя формулу (6.3), получим
.
Пример 2. Найти для функции
производную .
Решение. Имеем
,
.
Производная
от внешней функции
по переменной
равна
,
производная
от внутренней функции
по переменной
равна
.
Применяя формулу (6.3) дифференцирования сложной функции, получим
.
Пример 3. Найти для функции
производную .
Решение. В нашем случае
,
.
Производная
от внешней функции
по переменной
равна
,
производная
от внутренней функции
по переменной
равна
.
Тогда применяя формулу (6.3) дифференцирования сложной функции, получим
Таблица производных сложных функций
В соответствии с таблицей производных и теоремой о дифференцировании сложной функции можно составить таблицу дифференцирования сложной функции вида
,
где функция – основная элементарная функция, .
Таблица дифференцирования сложных функций
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
( , , ) |
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
|
|
|
(
)
Покажем на примерах принцип применения таблицы.
Пример
4. Найти для
функции
производную
.
Решение. В нашем случае применяем формулу 7 из таблицы, в которой
,
.
Имеем
.
Пример
5. Найти для
функции
производную
.
Решение. Имеем
, .
Применяя формулу 1 из таблицы, получим
Пример 6. Найти для функции
производную .
Решение. Применим формулу дифференцирования произведения двух функций. Получим
.
Функция
является сложной, ее производная
вычисляется по формуле 2 из таблицы:
.
В результате производная примет вид
.