МИНИСТЕРСВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Инженерно-экономический факультет

Кафедра эконометрики и математического моделирования (ЭиММ)

ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Математический анализ»

для направления 080100 «Экономика»

Рязань 2012

Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Лекция 1

1. Задача о касательной к графику, приводящая к понятию

производной функции одной переменной

Рассмотрим следующую задачу. Требуется написать уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку , где (см. рис. 1).

На графике функции произвольно выберем точку . Получим отрезок – секущая к кривой (на рис. 1 она изображена зеленым цветом). Пусть точка , перемещаясь по кривой, приближается к точке . Если секущая стремится занять предельное положение , то прямая

Рис. 1

называется касательной к графику функции , проходящей через точку (касательная изображена на рис. 1 красным цветом).

Известно, что уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку , имеет вид

, (1.1)

где – угловой коэффициент прямой, – угол наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс .

Из имеем .

Если точка перемещаясь по графику, приближается к точке ( ), то . При этом , , следовательно,

.

Итак, угловой коэффициент касательной к графику функции , проходящей через точку , вычисляется по формуле

. (1.2)

Вывод. Уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку ( ), имеет вид (1.1), где угловой коэффициент вычисляется по формуле (1.2).

Пример. Написать уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку с абсциссой .

Решение. Сначала по формуле (1.2) находим угловой коэффициент касательной. Вычисляем предварительно значение :

.

Вычисляем угловой коэффициент :

Тогда уравнение касательной к графику функции имеет вид (применяем формулу (1.1)):

.

2. Определение производной функции. Геометрический смысл производной функции в точке

Рассмотрим функцию с областью определения .

Определение 2.1. Пусть точка . Дадим точке допустимое приращение аргумента так, чтобы точка . Разность

(2.1)

между значением функции в точке и значением функции в точке назовем приращением функции в точке .

Пример 2.1. Для функции найти приращение .

Решение. Согласно формуле (2.1), имеем

.

Итак, .

Определение 2.2. Пусть точка . Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, то этот предел называется производной функции в точке и обозначается

(2.2)

(читается “эф штрих от x”).

Для обозначения производной в точке x применяются также следующие обозначения: , , , .

Пример 2.2. Для функции найти производную .

Решение. Согласно результату примера 2.1, имеем (выносим общий множитель за скобки)

Тогда, применяя формулу (2.2), получим

Итак, .

Рассмотрим геометрический смысл производной функции в точке. Пусть функция в точке имеет производную

.

Обозначим . Тогда получим . При этом формула вычисления производной функции в точке примет вид

.

А согласно формуле (1.2) имеем

.

Получаем следующий геометрический смысл производной функции в точке: производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции, проведенной через точку с абсциссой .

Таким образом, для функции из примера 1.1, производная в точке равна .