Лекция 6

11. Односторонние пределы функции одной переменной.

12. Непрерывность функции, свойства непрерывных функций

11. Односторонние пределы функции одной переменной

Пусть дана функция , заданная на области определения .

Определение 1. Точка называется правосторонней предельной точкой (левосторонней предельной точкой) для области определения функции , если функция определена на некотором достаточно малом интервале (соответственно ) (где ).

Д

– левосторонняя предельная

анные понятия легко иллюстрируются графически (см. рис. 1.1).

Рис.1.1.а.

Рис.1.1.б.

Если точка является одновременно и правосторонней и левосторонней предельными точками, то она является предельной точкой для , так как функция будет определена на достаточно малом интервале .

Введем важные для дальнейшего изучения математического анализа понятия – односторонние пределы.

Если – правосторонняя предельная точка для функции , то символом обозначаем стремление переменной к справа ( ). Если при этом соответствующие значения функции сколь угодно мало отличаются от некоторого числа , то число называют правосторонним пределом функции в точке (рис.9.1.а), и обозначают

или .

Если – левосторонняя предельная точка для функции , то символ означает стремление переменной к слева ( ). Если при этом соответствующие значения функции сколь угодно мало отличаются от некоторого числа , то число называют левосторонним пределом функции в точке (рис.9.1.б), и обозначают

или .

Если функция определена на интервале (на интервале ), то имеет смысл говорить о пределе функции при

(соответственно при ) .

Отметим следующий факт. Если функция в точке имеет конечные правосторонний и левосторонний пределы, равные между собой ( ), то функция в точке будет иметь предел .

На практике нахождение односторонних пределов основано на тех же приемах, что и вычисление обычных пределов.

Пример. Для функции вычислить односторонние пределы в точках , , а также при , . По полученным данным построить схематично график.

Решение. По виду функции замечаем, что функция не определена в точках , , однако эти точки – предельные точки для области определения . При вычислении односторонних пределов первоначально необходимо подставить предельную точку и учитывать знак:

,

.

По полученным пределам можно схематически построить график функции (см. рис. 2), дополнительно находим точки , .

Рис. 2.

12. Непрерывность функции, свойства непрерывных функций

Важным понятием для функции является понятие ее непрерывности.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и предел функции в точке совпадает со значением функции в точке , то есть

, .

Расшифруем более подробно это определение. Функция непрерывна в точке , если выполняются условия:

1) (то есть можем найти значение ),

2) существует конечный предел функции в точке :

,

3) предел функции в точке совпадает со значением функции в точке :

.

Рис.1.

Введенное понятие можно продемонстрировать графически (см. рис.1). В окрестности точки (то есть в интервале ) график функции идет линией без разрывов.

Определение 2. Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества .

О непрерывности функции можно говорить на области определения , на интервале или отрезке.

Рассмотрим простейшие свойства непрерывных функций.

1) Непрерывность основных элементарных функций. Все основные элементарные функции: ( ), , ( ), , , , , , , , непрерывны на своей области определения (то есть во всех точках, где они определены). Это можно легко понять, если взглянуть на графики этих функций.

2) Если функции , непрерывны на множестве , то на этом множестве непрерывными будут также функции , , (если ).

3) Непрерывность сложной функции. Если функция непрерывна на множестве , функция непрерывна на множестве , то сложная функция непрерывна на множестве .

Пример 1. Построить график функции . Показать, что эта функция непрерывна в точке и на всей области определения.

Решение. График функции, представленный на рисунке 9.4, наглядно показывает, что функция непрерывна на своей области определения. Возьмем точку и покажем, что для нее выполняются все три условия непрерывности. Очевидно, что , причем . Находим односторонние пределы:

Рис.9.4.

,

,

тогда , то есть функция непрерывна в точке .