7. Монотонные последовательности. Число e

Определение 1. Последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого n ( );

Определение 2. Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если ( ).

Все перечисленные последовательности носят название монотонных. Возрастающие и убывающие последовательности называются также строго монотонными.

Рассмотрим некоторые примеры.

1. Последовательность , , , …, , … возрастает и ограничена.

2. Последовательность 1, 1, 2, 2, …, n, n, … неубывающая и неограниченная.

3. Последовательность , , , …, , …убывающая и ограниченная.

Можно показать справедливость следующей теоремы.

Теорема 1. Всякая монотонно возрастающая (убывающая) ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет предел.

Рассмотрим последовательность и попытаемся применить к ней эту теорему.

Используя формулу бинома Ньютона, запишем в виде

.

Если перейти от к , то есть увеличить n на единицу, то в предыдущем разложении добавится новый, -й положительный член, а каждое из слагаемых в разложении увеличится, так как любой множитель в скобках вида заменится большим множителем вида . Отсюда следует, что , то есть последовательность монотонно возрастает.

Покажем, что эта последовательность ограничена сверху. Опустив в разложении все множители в скобках, мы увеличим выражение, так как каждая из скобок меньше единицы.

Следовательно,

(так как при ).

Но прогрессия имеет сумму

,

следовательно, .

Условия теоремы 1 выполнены; отсюда следует существование конечного предела последовательности . Этот предел обозначают буквой e. Это число играет исключительно важную роль в математике и ее приложениях. Доказывается, что является иррациональным числом.