Основные свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей сформулируем в виде теорем.
Теорема 3. Сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
■ Докажем утверждение для двух бесконечно малых последовательностей (общий случай показывается аналогично).
Пусть
и
– бесконечно малые. Зададим произвольное
число
.
По определению бесконечно малой
существует номер
,
начиная с которого
,
и
,
начиная с которого
.
Обозначим
.
Тогда при
одновременно выполняются оба неравенства,
так что
.
Следовательно,
– бесконечно малая последовательность.
■
Теорема 4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая.
■ Пусть
– ограниченная, а
– бесконечно малая последовательности.
Следовательно,
.
Выберем произвольное число
.
Тогда по числу
для
найдется такой номер N,
что при
.
Тогда для тех же значений n
.
Это и означает, что
– бесконечно малая. ■
Следствие 1. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая.
Следствие 2. Произведение бесконечно малой последовательности на постоянную есть бесконечно малая.
Теорема 5. Сумма бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность.
■ Пусть
и
– бесконечно большие последовательности,
для которых
,
.
По определению бесконечно большой
последовательности для любого сколь
угодно большого
существуют такие номера
и
,
что
и
.
Тогда
для
,
где
.
Последнее
и означает, что
– бесконечно большая последовательность.
■
Теорема 6. Произведение двух бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
4. Пределы последовательностей, выраженных арифметическими операциями
Рассмотрим теоремы, отражающие свойства сходящихся последовательностей и облегчающие нахождение пределов.
Теорема
1. Если
последовательности
и
имеют конечные пределы (
,
),
то:
1)
их сумма (разность) также имеет конечный
предел, причем
;
2)
произведение их также имеет конечный
предел, причем
;
3)
отношение их также имеет конечный
предел, причем
.
■ Так
как существуют
и
,
то
,
,
где
и
– бесконечно малые. Тогда
.
В этом равенстве
– бесконечно малая по свойству бесконечно
малых. Следовательно,
.
Рассмотрим
.
В силу следствий из теоремы 8 выражение,
стоящее в скобках, есть бесконечно
малая; следовательно,
.
Для доказательства 3) рассмотрим разность
.
Выражение
в скобках есть бесконечно малая в силу
следствий из теоремы 8. Так как
,
то, начиная с некоторого номера
,
где C
– некоторое число. Тогда
,
начиная с некоторого номера. Следовательно,
произведение
будет бесконечно малым, а оно является
разностью между переменной
и числом 
.
Значит,
.■
Теорема
2. Если
для последовательностей
и
для всех n
и
,
,
где a
и b
конечны, то
.
■ Предположим,
что
.
Возьмем число c
так, что
.
Тогда существует такой номер
,
что
;
с другой стороны, существует такой номер
,
что
.
Выберем
.
Тогда для
одновременно выполняются оба неравенства
,
,
откуда
для
.
Полученное противоречие и доказывает
теорему. ■
Теорема
3 (предел промежуточной последовательности).
Если для
последовательностей
,
,
при всех n
выполнены неравенства
и
,
то
.
■ Так
как
,
то для любого произвольного
существуют такие номера
и
,
что
для
,
для
.
Тогда для и
при
,
то есть
при
,
откуда следует, что
. ■