3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Определение 1. Последовательность называется бесконечно малой, если .

Если в определении 1 положить , то неравенство (2.1) примет вид . Следовательно, определение бесконечно малой последовательности может быть сформулировано следующим образом.

Определение 2. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого существует такой номер N, что для .

( – бесконечно малая )

Пример 1. Последовательность является бесконечно малой.

В самом деле, лишь только . Следовательно, в качестве можно взять целую часть числа . Заметим, что ни одно отдельно взятое значение бесконечно малой последовательности (если оно не нуль) не может рассматриваться как «малое». Дело в том, что это переменная величина, которая лишь в процессе своего изменения способна сделаться меньшей произвольно выбранного числа .

Вернемся к общему случаю существования предела последовательности.

Если , то разность будет бесконечно малой, так как в силу (1) при .

Обратно, если – бесконечно малая, то . Эти рассуждения приводят к следующему утверждению.

Теорема 1. Для того, чтобы последовательность имела своим пределом число a, необходимо и достаточно, чтобы последовательность была бесконечно малой.

Итак, если , то , где – бесконечно малая, и обратно, если , то .

Бесконечно малым последовательностям противопоставляются в некотором смысле бесконечно большие последовательности.

Определение 3. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа существует такой номер , что для всех номеров .

Как и в случае бесконечно малых, следует заметить, что ни одно отдельно взятое значение бесконечно большой не может рассматриваться как «большое». Это переменная величина, которая лишь в процессе своего изменения способна сделаться большей произвольно взятого числа M.

Пример 2. Последовательность является бесконечно большой, так как , лишь только . Следовательно, в качестве можно взять целую часть числа .

Если последовательность бесконечно большая, то говорят также, что она имеет предел или стремится к и записывают

( ).

Если при этом бесконечно большая сохраняет определенный знак, то в соответствии со знаком говорят, что или ( либо ).

( .)

Существует связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями, которая устанавливается теоремой 6.

Теорема 2.

1) Если – бесконечно большая, то – бесконечно малая последовательность;

2) если ( ) – бесконечно малая, то – бесконечно большая последовательность.

■ Выберем любое число . Так как , то для числа найдется такой номер N, что , как только . Тогда для тех же значений , что и доказывает утверждение. Аналогично доказывается и вторая часть утверждения. ■

Символически утверждение теоремы запишем так:

, .

Пример 3. – бесконечно малая последовательность, а – бесконечно большая.