2.2. Обработка результатов многократных измерений

Многократные измерения одной и той же величины постоянного размера производятся при повышенных требованиях к точности измерений. Результат многократных измерений описывается выражением:

. (10)

Как и результат однократного измерения, он является случайным значением измеряемой величины, но его дисперсия в n раз меньше дисперсии результата однократного измерения:

, соответственно (11)

То есть точность определения значения измеряемой величины повышается в раз.

Результат многократных измерений записывается в форме доверительного интервала

, (12)

где величина t находится в зависимости от заданной доверительной вероятности.

При проведении многократных измерений некоторые результаты могут содержать грубые погрешности, то есть погрешности, явно превышающие по своему значению погрешности, оправданные условиями проведения эксперимента (измерения). Очевидно, что наиболее подозрительными являются минимальное и максимальное показания. Вопрос о том, содержит ли данный результат грубую погрешность, решается общими методами проверки статистических гипотез.

Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат х_i не содержит грубой погрешности. Для проверки этой гипотезы используют распределения следующих величин:

, (13)

. (14)

Эти функции совпадают между собой, и для нормального распределения результатов измерения они протабулированы. По табл.1 приложения по заданной доверительной вероятности Р и количестве измерений в серии n находят табличное (предельно допустимое) значение _т; его сравнивают с расчетным значением _р. Если выполняется условие _р  _т , то гипотеза об отсутствии грубой погрешности принимается с вероятностью Р.

Иногда грубые погрешности исключаются с помощью правила «трех сигм». Если известно, что закон распределения - нормальный, и его числовые характеристики (их оценки) равны Мх и _х, то с доверительной вероятностью 0,9973 грубыми промахами являются те результаты измерения, которые выходят за границы интервала Мх _х.

После того, как грубые погрешности (промахи) исключены из результатов измерения, необходимо снова определить оценки числовых характеристик и убедиться в отсутствии грубых погрешностей.

2.3. Равноточные и неравноточные измерения. Серии измерений

Если изменением измеряемой величины во времени можно пренебречь, то все значения отсчета при многократных измерениях получает один оператор с помощью одного и того же средства измерений. При этом все значения отсчета будут распределены с одинаковой дисперсией; такие значения отсчета называются равноточными (равнорассеянными).

Если за время измерения может произойти существенное изменение измеряемой величины, то последнюю измеряют несколькими средствами измерений, каждое из которых дает одно из независимых значений отсчета. Так как средства измерений могут отличаться по точности, то случайные значения отсчета (результаты однократных измерений) могут иметь разную дисперсию; такие значения отсчета называются неравноточными (неравнорассеянными).

Часто измерительная процедура бывает организована таким образом, что с помощью каждого средства измерений получают ряд значений отсчета - серию измерений. При этом могут получаться как однородные, так и неоднородные серии.

Однородными сериями измерений называются такие, у которых вероятности результатов измерений подчиняются одному закону. На практике однородными считают такие серии измерений, у которых числовые характеристики законов распределения вероятности (ЗРВ) и отличаются случайным образом. Если хотя бы одна из этих числовых характеристик отличается от характеристик других серий неслучайно, то эти серии считаются неоднородными.

При неслучайном различии средних результаты серий измерений не подлежат совместной обработке, так как результаты измерений не сходятся.

При неслучайном различии дисперсий серии измерений являются неравноточными (неравнорассеянными).

Результаты равноточных и неравноточных серий измерений подлежат совместной обработке, но по различным методикам. Поэтому перед тем, как приступить к обработке результатов нескольких серий измерений, необходимо произвести проверку их однородности. Для этого проверяют равенство их средних арифметических и дисперсий.

Средние арифметические и двух серий измерений считаются равными, если их разность равна нулю:

.

Однако точно это равенство не выполняется из-за случайного характера величин и , поэтому средние считаются одинаковыми, если их разность меньше погрешности, с которой эту разность можно определить:

, (15)

где t - относительная ширина доверительного интервала,

- стандартное отклонение разности средних.

Если условие не выполняется, то это говорит о том, что серии измерений не подлежат совместной обработке и результат измерений записывается в форме доверительного интервала для каждой серии и ; t выбирается из табл.2 приложения при Р=0,95 и k₁=n₁-1 и k_II=n_II-1.

Относительная ширина доверительного интервала t выбирается из распределения Стьюдента по табл. 2 приложения в зависимости от заданной доверительной вероятности и от числа степеней свободы k. Для случая, когда одним и тем же прибором производят m серий измерений, число степеней свободы определяется по формуле

k = N – m,

где N –суммарное число измерений во всех сериях.

Поскольку при выполнении лабораторной работы осуществляется сравнение двух серий измерений, то m = 2.

Стандартное отклонение разности средних ( ) определяется по формуле:

, (16)

где n_I и n_II - число измерений в сериях I и II соответственно.

Если число серий больше двух, то необходимо провести попарное сравнение всех средних.

Что касается дисперсий, то уместнее говорить не об их равенстве, а об однородности, то есть о случайном (незначимом) различии. Как указывалось ранее, проверка неоднородности дисперсий позволяет определить методику дальнейшей обработки результатов измерений. Если дисперсии однородны, то обработка результатов ведется по схеме равноточных серий измерений, если же дисперсии неоднородны, то обработка результатов ведется по схеме неравноточных серий измерений.

Чаще всего для проверки однородности дисперсий используют критерий Фишера.

Критерий Фишера определяется по формуле:

, (17)

где F_р - расчетное значение критерия Фишера,

- наибольшая и наименьшая дисперсии из всех серий.

Если выполняется условие

, (18)

то дисперсии - однородны. Следовательно, остальные дисперсии однородны тем более.

Критическое (табличное) значение F-критерия F_T выбирается по табл. 3 приложения в зависимости от доверительной вероятности Р и числа степеней свободы k₁ = n₁ - 1, k₂ = n₂ – 1, где k₁ и k₂ - числа степеней свободы для наибольшей и наименьшей дисперсий соответственно.